(Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 30 cm por 50 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar.)
Expresse o volume V da caixa como uma função de x. Qual o domínio considerando a restrição das variáveis serem positivas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre caixas sem tampa! A gente vai trabalhar com geometria e funções matemáticas. Vamos precisar entender como calcular o volume de uma caixa construída a partir de um retângulo, cortando quadrados de tamanho em cada canto e dobrando as laterais. Nosso objetivo é expressar o volume em função de e descobrir qual o valor de que faz sentido nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como a caixa é feita. A gente tem um papelão de 30 cm por 50 cm. Se a gente corta quadrados de lado em cada canto e dobra as laterais, as dimensões da base da caixa vão diminuir.
A largura original é 30 cm, então depois de cortar os quadrados, a nova largura será (porque cortamos de cada lado). A mesma coisa acontece com o comprimento: .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume da caixa, usamos a fórmula do volume de um paralelepípedo, que é:
Aqui, o comprimento é , a largura é e a altura é (porque é o lado do quadrado que dobramos para formar as laterais).

Passo 4

Substituindo as dimensões na fórmula do volume, temos:
Vamos multiplicar os dois primeiros termos primeiro:
Então, o volume fica:

Passo 5

Agora, sobre o domínio da função, precisamos garantir que todas as dimensões sejam positivas. Isso significa que:
  1. (o tamanho do corte deve ser positivo).
  2. e (as dimensões da base devem ser positivas).
Resolvendo as desigualdades:
O valor mais restritivo é , então o domínio é:

Resposta

O volume da caixa é dado por:
E o domínio, considerando que deve ser positivo e as dimensões da base positivas, é:

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