2,0 Verifique se a função dada por f(x) = { (x - 3y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) } é contínua no ponto P=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida assim:
O que a gente precisa verificar é se essa função é contínua no ponto . Vamos usar conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em , então precisamos calcular:
e ver se esse limite é igual a .

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a gente expressa e em termos de e , onde:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Substituindo e pelas expressões em coordenadas polares na função , temos:
Lembrando que , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando :
Aqui, percebemos que o numerador é uma expressão que depende de , mas o denominador está tendendo a zero. Isso significa que o limite pode se comportar de maneira diferente dependendo do valor de .
Se o numerador não for zero, o limite tende a mais ou menos infinito, o que indica que o limite não existe de forma geral.
Por exemplo, se :
Se :

Passo 6

Como o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de , e diferentes caminhos dão limites diferentes (como vimos, um tende a e outro a ), podemos concluir que o limite:
não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de não existe.

Exercícios relacionados

Uma caixa sem tampa deve ter o volume de 32000 m^3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de material utilizado na fabricação da caixa. ( 2,0 pontos)
(3,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim t 2 F(t), onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+sen(t-2)t-2 j+2 t^2 k
2,0 Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: F(t) = (t^2 + 1) / (3t + 2) i + e^(t^2 + 1) j + 2 pi k
Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelas superfícies z = x + y e x^2 + y^2 = 4.