Verifique se a função dada por é contínua no ponto P=(0,0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida assim:
O que a gente precisa verificar é se essa função é contínua no ponto . Vamos usar conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em , então precisamos calcular:
e ver se esse limite é igual a .
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a gente expressa e em termos de e , onde:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem , e é o ângulo em relação ao eixo .
Passo 4
Substituindo e pelas expressões em coordenadas polares na função , temos:
Lembrando que , a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de quando :
Aqui, percebemos que o numerador é uma expressão que depende de , mas o denominador está tendendo a zero. Isso significa que o limite pode se comportar de maneira diferente dependendo do valor de .
Se o numerador não for zero, o limite tende a mais ou menos infinito, o que indica que o limite não existe de forma geral.
Por exemplo, se :
Se :
Passo 6
Como o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de , e diferentes caminhos dão limites diferentes (como vimos, um tende a e outro a ), podemos concluir que o limite:
não existe.
Resposta
A função não é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de não existe.