( ) Sendo a função que dá o volume da caixa em termos do lado dos quadrados retirados na extremidades da folha, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Pelo que você enviou, temos uma função que representa o volume de uma caixa em função de , que é o lado dos quadrados retirados das extremidades de uma folha. A função é dada por:
Vamos precisar entender conceitos de funções quadráticas e otimização para resolver esse exercício. Basicamente, queremos encontrar o valor de que maximiza o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática do tipo:
No nosso caso, , e . Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza a função , usamos a fórmula do vértice da parábola. O valor de no vértice de uma parábola da forma é dado por:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Apareceu algo estranho! Encontramos , mas isso não faz sentido no contexto do problema, já que representa o lado dos quadrados retirados e não pode ser zero.
Vamos revisar a função. Parece que a função está apenas dependente de , sem termo linear. Isso indica que o volume diminui à medida que aumenta, e o volume máximo ocorre quando é o menor possível, ou seja, . Porém, como não é uma solução prática, precisamos reconsiderar o enunciado ou verificar se falta alguma informação.

Passo 5

Sem informações adicionais sobre restrições ou outras partes do problema, não conseguimos determinar um valor prático para que maximize o volume da caixa. É possível que o enunciado completo inclua mais detalhes, como dimensões da folha ou outras condições que limitam o valor de .

Resposta

Com base na função fornecida , o volume é máximo quando . No entanto, como não é viável no contexto real, provavelmente falta alguma informação no enunciado para determinar um valor prático para .

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( ) A caixa que tiver a maior área de superfície possível também terá o maior volume possível.
( ) A caixa com a maior área de superfície será aquela que for produzida a partir da retirada de quadrados de lado .
Determine: O custo fixo de produção desse mineral pela mineradora.
Determine: O nível de produção, em toneladas, que gera o custo máximo de produção.