( ) Sendo
a função que dá o volume da caixa em termos do lado
dos quadrados retirados na extremidades da folha, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Pelo que você enviou, temos uma função que representa o volume de uma caixa em função de
, que é o lado dos quadrados retirados das extremidades de uma folha. A função é dada por:
Vamos precisar entender conceitos de funções quadráticas e otimização para resolver esse exercício. Basicamente, queremos encontrar o valor de
que maximiza o volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática do tipo:
No nosso caso,
,
e
. Como o coeficiente de
é negativo (
), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza a função
, usamos a fórmula do vértice da parábola. O valor de
no vértice de uma parábola da forma
é dado por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Apareceu algo estranho! Encontramos
, mas isso não faz sentido no contexto do problema, já que
representa o lado dos quadrados retirados e não pode ser zero.
Vamos revisar a função. Parece que a função está apenas dependente de
, sem termo linear. Isso indica que o volume diminui à medida que
aumenta, e o volume máximo ocorre quando
é o menor possível, ou seja,
. Porém, como
não é uma solução prática, precisamos reconsiderar o enunciado ou verificar se falta alguma informação.
Passo 5
Sem informações adicionais sobre restrições ou outras partes do problema, não conseguimos determinar um valor prático para
que maximize o volume da caixa. É possível que o enunciado completo inclua mais detalhes, como dimensões da folha ou outras condições que limitam o valor de
.
Resposta
Com base na função fornecida
, o volume é máximo quando
. No entanto, como
não é viável no contexto real, provavelmente falta alguma informação no enunciado para determinar um valor prático para
.
Exercícios relacionados
( ) A caixa que tiver a maior área de superfície possível também terá o maior volume possível.
( ) A caixa com a maior área de superfície será aquela que for produzida a partir da retirada de quadrados de lado
.
Determine: O custo fixo de produção desse mineral pela mineradora.
Determine: O nível de produção, em toneladas, que gera o custo máximo de produção.