Um caixote, na forma de um cubo com 1,20 m de lado, contém uma peça de máquina; o centro da massa do caixote com seu conteúdo está localizado 0,300 m acima do centro geométrico do caixote. O caixote repousa em uma rampa que faz um ângulo theta com a horizontal. Quando theta aumenta a partir do zero, um valor de ângulo é atingido no qual o caixote tomba ou escorrega pela rampa. Se mue=0,70, o caixote tomba ou desliza?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caixote em forma de cubo com lado de que contém uma peça de máquina. O centro de massa desse caixote está localizado acima do centro geométrico. O caixote está apoiado em uma rampa inclinada com um ângulo em relação à horizontal. À medida que aumentamos a partir de zero, queremos descobrir em que ângulo o caixote vai tombar ou escorregar. Sabemos que o coeficiente de atrito estático é . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de tombamento e escorregamento em física, além de usar trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em que ângulo o caixote começará a escorregar pela rampa. O escorregamento ocorre quando a componente da força gravitacional que puxa o caixote para baixo da rampa supera a força de atrito estático que o mantém parado.
A condição para o início do escorregamento é:
tan(thetaescorregar) = mue
Portanto, o ângulo crítico para escorregar é:
thetaescorregar = arctan(mue) = arctan(0,70)
Vamos calcular isso:
thetaescorregar approx 35^circ

Passo 3

Agora, vamos descobrir em que ângulo o caixote começará a tombar. O tombamento ocorre quando o momento (torque) provocado pela força gravitacional faz com que o caixote gire em torno da borda inferior da rampa.
Para isso, precisamos calcular o ângulo em que a linha de ação da força gravitacional passa além do ponto de apoio. A condição para o início do tombamento é:
tan(thetatombar) = A
Sabemos que:
  • A altura do centro de massa acima da base do caixote é tan(thetatombar) = 0,9000,60 = 1,5
  • A metade do lado do caixote é thetatombar = arctan(1,5)
Então:
thetatombar approx 56^circ
Portanto:
Calculando isso:

Resposta

Comparando os dois ângulos críticos:
thetaescorregar approx 35^circ e thetatombar approx 56^circ
Como o ângulo para escorregar ( ) é menor que o ângulo para tombar ( ), o caixote escorrega antes de tombar quando o ângulo da rampa aumenta.
Resposta final: O caixote desliza pela rampa.

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