Mostre que dado qualquer vetor u, pode-se definir um vetor unitário u como sendo u=u|u|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para qualquer vetor u, a gente pode definir um vetor unitário u usando a fórmula u = u|u|. Isso tá dentro da matéria de Vetores e Vetores Unitários. A gente vai precisar entender o que é um vetor unitário e como calcular o módulo (ou comprimento) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, é um vetor que só indica direção, sem se preocupar com o tamanho. Agora, para transformar qualquer vetor em um vetor unitário, a gente precisa dividir o vetor original pelo seu próprio módulo.

Passo 3

Vamos pensar no vetor u. O módulo de u, representado por |u|, é calculado usando a fórmula:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
onde u1, u2 e u3 são as componentes do vetor u.

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor unitário u, a gente divide cada componente de u pelo seu módulo. Isso fica assim:
u = u|u|
Então, se u = (u1, u2, u3), então:
u = ( u1|u|, u2|u|, u3|u| )

Passo 5

Agora, vamos verificar se u realmente é um vetor unitário. Calculando o módulo de u:
|u| = raiz(u1|u|)^2 + (u2|u|)^2 + (u3|u|)^2
Simplificando:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2|u|^2 = raiz|u|^2|u|^2 = raiz1 = 1

Resposta

Dessa forma, mostramos que qualquer vetor u pode ser transformado em um vetor unitário u = u|u|, já que o módulo de u é igual a 1.

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