Mostre que dado qualquer vetor
, pode-se definir um vetor unitário
como sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para qualquer vetor
, a gente pode definir um vetor unitário
usando a fórmula
. Isso tá dentro da matéria de Vetores e Vetores Unitários. A gente vai precisar entender o que é um vetor unitário e como calcular o módulo (ou comprimento) de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, é um vetor que só indica direção, sem se preocupar com o tamanho. Agora, para transformar qualquer vetor em um vetor unitário, a gente precisa dividir o vetor original pelo seu próprio módulo.
Passo 3
Vamos pensar no vetor
. O módulo de
, representado por
, é calculado usando a fórmula:
onde
,
e
são as componentes do vetor
.
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor unitário
, a gente divide cada componente de
pelo seu módulo. Isso fica assim:
Então, se
, então:
Passo 5
Agora, vamos verificar se
realmente é um vetor unitário. Calculando o módulo de
:
Simplificando:
Resposta
Dessa forma, mostramos que qualquer vetor
pode ser transformado em um vetor unitário
, já que o módulo de
é igual a 1.