・・ CALC Lei T^3 de Debye. Em temperaturas muito baixas, o calor específico molar do sal de rocha varia com a temperatura de acordo com a lei T^3 de Debye:
C=k T^3theta^3
onde k=1.940 J / mol cdot Ke theta=281 K. (a) Qual é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1,50 mol de sal de rocha de 10,0 K até 40,0 K ? (Dica: use a Equação 17.18 na forma d Q=n C d T e integre.) (b) Qual é o calor específico molar médio nessa faixa? © Qual é o calor específico molar verdadeiro a 40,0 K ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a lei de Debye, que descreve como o calor específico molar do sal de rocha varia com a temperatura em baixas temperaturas. A gente tem que calcular a quantidade de calor necessária para aquecer uma certa quantidade de sal de rocha e também descobrir o calor específico molar médio e verdadeiro nessa faixa de temperatura. Os dados que vamos usar são:
  • Quantidade de sal de rocha:
  • Temperatura inicial:
  • Temperatura final:

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), que pede a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do sal de rocha de Q = n integralTi^Tf C , dT até C = k T^3theta^3 . A equação que a gente vai usar é:
Onde é o calor específico molar dado pela lei de Debye:
Vamos substituir na equação de .

Passo 3

Substituindo Q = n integral10,0^40,0 ( k T^3theta^3 ) dT na equação de Q = n cdot k cdot 1theta^3 integral10,0^40,0 T^3 , dT , temos:
integral T^3 , dT = T^44
Como Q = n cdot k cdot 1theta^3 ( 40,0^44 - 10,0^44 ) , e são constantes, podemos tirar esses valores da integral:
Agora, vamos integrar :
Então, aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Q = 1,50 , mol cdot 1,940 , J/mol cdot K cdot 1281^3 , K^3 ( 40,0^4 - 10,0^44 )
Calculando passo a passo:
  1. Q = 1,50 times 1,940 times 4,506 times 10^-8 times 637,500 approx 8,34 , J
  2. Diferença:
  3. Dividido por 4:
  4. Multiplicando tudo:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede o calor específico molar médio nessa faixa de temperatura. O calor específico médio Cmédio = Qn Deé é dado por:
Cmédio = 8,34 , J1,50 , mol times 30,0 , K = 8,3445 approx 0,185 , J/mol cdot K é
Onde .
Substituindo os valores:
é

Passo 6

Por fim, na parte ©, queremos saber o calor específico molar verdadeiro a C = k T^3theta^3 . Usamos a fórmula da lei de Debye:
C = 1,940 , J/mol cdot K cdot 40,0^3281^3
Substituindo :
Calculando:

Resposta

(a) A quantidade de calor necessária é aproximadamente 8,34 J.
(b) O calor específico molar médio nessa faixa de temperatura é 0,185 J/mol·K.
© O calor específico molar verdadeiro a é aproximadamente 0,0056 J/mol·K.

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