Quais forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial
.
a-
b-
a-
b-
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa saber quais das forças dadas são conservativas. Para isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais na Física, especificamente verificar se o rotacional das forças é zero. Se for, a força é conservativa e podemos encontrar a energia potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte a:
Para verificar se essa força é conservativa, temos que calcular o rotacional
e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Vamos calcular cada termo:
Então, a primeira componente:
Passo 4
Agora, a segunda componente:
Então:
Passo 5
Por fim, a terceira componente:
Então:
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que a força da parte a é conservativa.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a energia potencial
tal que:
Isso significa que:
Passo 8
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 9
Agora, vamos usar
para determinar
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que pode depender apenas de
.
Passo 10
Por fim, usamos
para encontrar
:
Isso significa que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 11
Portanto, a energia potencial é:
Podemos ignorar a constante
se quisermos.
Passo 12
Agora, vamos analisar a parte b:
Vamos calcular o rotacional
para ver se essa força é conservativa.
Passo 13
Calculando cada componente do rotacional:
Então, a primeira componente:
Passo 14
Agora, a segunda componente:
Então:
Passo 15
Por fim, a terceira componente:
Então:
Passo 16
Todas as componentes do rotacional são zero, então a força da parte b também é conservativa.
Passo 17
Agora, vamos encontrar a energia potencial
tal que:
Ou seja:
Passo 18
Começamos integrando
em relação a
:
Passo 19
Agora, usamos
:
Integrando:
Passo 20
Por fim, usamos
:
Então,
é uma constante
.
Passo 21
Portanto, a energia potencial é:
Podemos ignorar a constante
se quisermos.
Resposta
Ambas as forças a e b são conservativas. Suas energias potenciais são:
a)
b)
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