Quais forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial .
a-
b-

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa saber quais das forças dadas são conservativas. Para isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais na Física, especificamente verificar se o rotacional das forças é zero. Se for, a força é conservativa e podemos encontrar a energia potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a:
Para verificar se essa força é conservativa, temos que calcular o rotacional e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
Vamos calcular cada termo:
Então, a primeira componente:

Passo 4

Agora, a segunda componente:
Então:

Passo 5

Por fim, a terceira componente:
Então:

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que a força da parte a é conservativa.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a energia potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que pode depender de e .

Passo 9

Agora, vamos usar para determinar :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que pode depender apenas de .

Passo 10

Por fim, usamos para encontrar :
Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 11

Portanto, a energia potencial é:
Podemos ignorar a constante se quisermos.

Passo 12

Agora, vamos analisar a parte b:
Vamos calcular o rotacional para ver se essa força é conservativa.

Passo 13

Calculando cada componente do rotacional:
Então, a primeira componente:

Passo 14

Agora, a segunda componente:
Então:

Passo 15

Por fim, a terceira componente:
Então:

Passo 16

Todas as componentes do rotacional são zero, então a força da parte b também é conservativa.

Passo 17

Agora, vamos encontrar a energia potencial tal que:
Ou seja:

Passo 18

Começamos integrando em relação a :

Passo 19

Agora, usamos :
Integrando:

Passo 20

Por fim, usamos :
Então, é uma constante .

Passo 21

Portanto, a energia potencial é:
Podemos ignorar a constante se quisermos.

Resposta

Ambas as forças a e b são conservativas. Suas energias potenciais são:
a)
b)

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