Quais forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial U(r).
a- Fx=a y z+b x+c, Fy=a x z+b z, Fz=a x y+b y
b- Fx=-z e^-x, Fy=ln z, Fz=e^-x+y / z

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa saber quais das forças dadas são conservativas. Para isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais na Física, especificamente verificar se o rotacional das forças é zero. Se for, a força é conservativa e podemos encontrar a energia potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a:
Fx=a y z + b x + c, Fy=a x z + b z, Fz=a x y + b y
Para verificar se essa força é conservativa, temos que calcular o rotacional e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
partial Fzpartial y = a x + b
partial Fypartial z = a x + b
Então, a primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = (a x + b) - (a x + b) = 0

Passo 4

Agora, a segunda componente:
partial Fxpartial z = a y
partial Fzpartial x = a y
Então:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = a y - a y = 0

Passo 5

Por fim, a terceira componente:
partial Fypartial x = a z
partial Fxpartial y = a z
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = a z - a z = 0

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que a força da parte a é conservativa.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a energia potencial F = -nabla U tal que:
Fx = -partial Upartial x, Fy = -partial Upartial y, Fz = -partial Upartial z
Isso significa que:

Passo 8

Vamos integrar -partial Upartial x = a y z + b x + c Rightarrow U = -integral (a y z + b x + c) , dx = -a y z x - b x^22 - c x + g(y, z) em relação a :
Onde é uma função que pode depender de e .

Passo 9

Agora, vamos usar -partial Upartial y = a x z + b z Rightarrow -( -a z x + partial gpartial y ) = a x z + b z Rightarrow partial gpartial y = b z para determinar g(y, z) = b z y + h(z) :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que pode depender apenas de .

Passo 10

Por fim, usamos -partial Upartial z = a x y + b y Rightarrow -( -a x y - b y + partial hpartial z ) = a x y + b y Rightarrow partial hpartial z = 0 para encontrar :
Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 11

Portanto, a energia potencial é:
U(x, y, z) = -a x y z - b x^22 - c x - b z y + C
Podemos ignorar a constante se quisermos.

Passo 12

Agora, vamos analisar a parte b:
Fx = -z e^-x, Fy = ln z, Fz = e^-x + yz
Vamos calcular o rotacional para ver se essa força é conservativa.

Passo 13

Calculando cada componente do rotacional:
partial Fzpartial y = 1z
partial Fypartial z = 1z
Então, a primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 1z - 1z = 0

Passo 14

Agora, a segunda componente:
partial Fxpartial z = -e^-x
partial Fzpartial x = -e^-x
Então:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = -e^-x - (-e^-x) = 0

Passo 15

Por fim, a terceira componente:
partial Fypartial x = 0
partial Fxpartial y = 0
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 0 - 0 = 0

Passo 16

Todas as componentes do rotacional são zero, então a força da parte b também é conservativa.

Passo 17

Agora, vamos encontrar a energia potencial F = -nabla U tal que:
Fx = -partial Upartial x, Fy = -partial Upartial y, Fz = -partial Upartial z
Ou seja:

Passo 18

Começamos integrando -partial Upartial x = -z e^-x Rightarrow U = integral z e^-x , dx + g(y, z) = -z e^-x + g(y, z) em relação a :

Passo 19

Agora, usamos -partial Upartial y = ln z Rightarrow -partialpartial y(-z e^-x + g(y, z)) = ln z Rightarrow -partial gpartial y = ln z :
partial gpartial y = -ln z Rightarrow g(y, z) = -y ln z + h(z)
Integrando:

Passo 20

Por fim, usamos -partial Upartial z = e^-x + yz Rightarrow -( -e^-x - y 1z + partial hpartial z ) = e^-x + yz Rightarrow partial hpartial z = 0 :
Então, é uma constante .

Passo 21

Portanto, a energia potencial é:
U(x, y, z) = -z e^-x - y ln z + C
Podemos ignorar a constante se quisermos.

Resposta

Ambas as forças a e b são conservativas. Suas energias potenciais são:
a)
U(x, y, z) = -a x y z - b x^22 - c x - b z y
b)
U(x, y, z) = -z e^-x - y ln z

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