Calcue os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano pi: r:l y=3-2 t x=-2+t e pi: m x+2 y-3 z+n=0 z=2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a reta esteja completamente dentro do plano . Vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre como uma reta pode estar contida em um plano. Para isso, vamos precisar substituir as equações da reta na equação do plano e ver o que resulta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = -2 + t y = 3 - 2t z = 2t :
Aqui, é o parâmetro que percorre todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação geral do plano m x + 2 y - 3 z + n = 0 :
Como queremos que todos os pontos da reta estejam no plano , as coordenadas , e da reta devem satisfazer a equação do plano para qualquer valor de .

Passo 4

Vamos substituir as expressões de m(-2 + t) + 2(3 - 2t) - 3(2t) + n = 0 , e da reta na equação do plano :
Agora, vamos simplificar essa equação.

Passo 5

Distribuindo os termos:
-2m + m t + 6 - 4t - 6t + n = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
m t - 10t + (-2m + 6 + n) = 0

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para todo m - 10 = 0 -2m + 6 + n = 0 , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação para encontrar m - 10 = 0 Rightarrow m = 10 :

Passo 8

Agora, substituímos -2(10) + 6 + n = 0 -20 + 6 + n = 0 -14 + n = 0 n = 14 na segunda equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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