Uma elipse tem focos nos pontos
e
, e excentricidade
.
Faça um esboço do gráfico da elipse.
Faça um esboço do gráfico da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse com dois focos nos pontos
e
, e a excentricidade dela é
. Para desenhar o gráfico dessa elipse, precisamos entender alguns conceitos básicos de elipses, como centro, eixos maior e menor, além de como a excentricidade influencia nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos estão em
e
, a coordenada x deles é a mesma, então o centro também terá x = 3. Para encontrar a coordenada y do centro, fazemos a média entre -7 e 13:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
, onde
é a distância do centro até cada foco. Olhando para as coordenadas dos focos
e
, percebemos que eles estão alinhados verticalmente. A distância vertical entre eles é:
Então,
, o que significa que
.
Passo 4
A excentricidade
da elipse é dada pela fórmula:
Onde
é o semi-eixo maior da elipse. Sabemos que
e
, então podemos resolver para
:
Então, o semi-eixo maior
é 20.
Passo 5
Com
e
, podemos encontrar o semi-eixo menor
usando a relação:
Então, o semi-eixo menor
é aproximadamente 17,32.
Passo 6
Agora que temos o centro
,
, e
, podemos esboçar o gráfico da elipse. Como os focos estão alinhados verticalmente, a elipse também estará alongada verticalmente. O eixo maior vai de
até
. O eixo menor vai de
até
.
Resposta
O esboço da elipse tem centro em
, com eixo maior vertical de comprimento 40 (de
a
) e eixo menor horizontal de aproximadamente 34,64 (de
a
). A elipse está centrada em
, estendida verticalmente devido à excentricidade
.