Uma elipse tem focos nos pontos e , e excentricidade .
Faça um esboço do gráfico da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse com dois focos nos pontos e , e a excentricidade dela é . Para desenhar o gráfico dessa elipse, precisamos entender alguns conceitos básicos de elipses, como centro, eixos maior e menor, além de como a excentricidade influencia nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos estão em e , a coordenada x deles é a mesma, então o centro também terá x = 3. Para encontrar a coordenada y do centro, fazemos a média entre -7 e 13:
Então, o centro da elipse é .
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é , onde é a distância do centro até cada foco. Olhando para as coordenadas dos focos e , percebemos que eles estão alinhados verticalmente. A distância vertical entre eles é:
Então, , o que significa que .
Passo 4
A excentricidade da elipse é dada pela fórmula:
Onde é o semi-eixo maior da elipse. Sabemos que e , então podemos resolver para :
Então, o semi-eixo maior é 20.
Passo 5
Com e , podemos encontrar o semi-eixo menor usando a relação:
Então, o semi-eixo menor é aproximadamente 17,32.
Passo 6
Agora que temos o centro , , e , podemos esboçar o gráfico da elipse. Como os focos estão alinhados verticalmente, a elipse também estará alongada verticalmente. O eixo maior vai de até . O eixo menor vai de até .
Resposta
O esboço da elipse tem centro em , com eixo maior vertical de comprimento 40 (de a ) e eixo menor horizontal de aproximadamente 34,64 (de a ). A elipse está centrada em , estendida verticalmente devido à excentricidade .