Uma elipse tem focos nos pontos (3,-7) e (3,13), e excentricidade e=1 / 2.
Faça um esboço do gráfico da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse com dois focos nos pontos (3,-7) e (3,13), e a excentricidade dela é e = 12. Para desenhar o gráfico dessa elipse, precisamos entender alguns conceitos básicos de elipses, como centro, eixos maior e menor, além de como a excentricidade influencia nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos estão em (3,-7) e (3,13), a coordenada x deles é a mesma, então o centro também terá x = 3. Para encontrar a coordenada y do centro, fazemos a média entre -7 e 13:
ycentro = -7 + 132 = 62 = 3
Então, o centro da elipse é (3, 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é 2c, onde c é a distância do centro até cada foco. Olhando para as coordenadas dos focos (3,-7) e (3,13), percebemos que eles estão alinhados verticalmente. A distância vertical entre eles é:
13 - (-7) = 20
Então, 2c = 20, o que significa que c = 10.

Passo 4

A excentricidade e da elipse é dada pela fórmula:
e = ca
Onde a é o semi-eixo maior da elipse. Sabemos que e = 12 e c = 10, então podemos resolver para a:
12 = 10a a = 20
Então, o semi-eixo maior a é 20.

Passo 5

Com a = 20 e c = 10, podemos encontrar o semi-eixo menor b usando a relação:
b^2 = a^2 - c^2 b^2 = 20^2 - 10^2 b^2 = 400 - 100 b^2 = 300 b = raiz300 approx 17,32
Então, o semi-eixo menor b é aproximadamente 17,32.

Passo 6

Agora que temos o centro (3,3), a = 20, e b approx 17,32, podemos esboçar o gráfico da elipse. Como os focos estão alinhados verticalmente, a elipse também estará alongada verticalmente. O eixo maior vai de y = 3 - 20 = -17 até y = 3 + 20 = 23. O eixo menor vai de x = 3 - 17,32 approx -14,32 até x = 3 + 17,32 approx 20,32.

Resposta

O esboço da elipse tem centro em (3,3), com eixo maior vertical de comprimento 40 (de y = -17 a y = 23) e eixo menor horizontal de aproximadamente 34,64 (de x approx -14,32 a x approx 20,32). A elipse está centrada em (3,3), estendida verticalmente devido à excentricidade e = 12.

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