Resolver os seguintes sistemas de equações lineares:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! A gente tem três equações com três incógnitas: , e . Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que basicamente ajuda a “tirar” uma variável de cada vez para facilitar a solução. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para reorganizar e combinar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações de forma organizada:
x + 3y + 2z = -3 (Equação 1) 3x + 7y + 4z = -5 (Equação 2) x + 2y + z = -1 (Equação 3) çãçãçã
Passo 3
Vamos começar eliminando a variável (x + 3y + 2z) - (x + 2y + z) = -3 - (-1) das Equações 1 e 3. Para isso, podemos subtrair a Equação 3 da Equação 1:
x - x + 3y - 2y + 2z - z = -3 + 1 y + z = -2 (Equação 4)
Simplificando:
çã
Passo 4
Agora, vamos eliminar 3(x + 2y + z) = 3(-1) 3x + 6y + 3z = -3 (Equação 5) da Equação 2 usando a Equação 3. Primeiro, multiplicamos a Equação 3 por 3:
Percebemos que as Equações 4 e 5 são iguais, o que significa que ainda precisamos de outra forma de eliminar 3(x + 3y + 2z) = 3(-3) 3x + 9y + 6z = -9 (Equação 6) . Vamos tentar uma abordagem diferente multiplicando a Equação 1 por 3 e subtraindo a Equação 2:
Agora, vamos simplificar a Equação 7 dividindo todos os termos por 2:
y + z = -2 (Já temos isso da Equação 4) áçã
Isso confirma que . Vamos usar essa informação para encontrar e .
Passo 7
Vamos expressar y = -2 - z em termos de usando a Equação 4:
Passo 8
Agora, vamos substituir x + 2(-2 - z) + z = -1 x - 4 - 2z + z = -1 x - z = 3 x = 3 + z na Equação 3 para encontrar :
Passo 9
Até aqui, temos:
x = 3 + z y = -2 - z
Agora, vamos escolher um valor para (3 + z) + 3(-2 - z) + 2z = -3 3 + z -6 -3z + 2z = -3 (3 -6) + (z -3z +2z) = -3 -3 + 0z = -3 que satisfaça uma das equações originais. Vamos usar a Equação 1:
Isso confirma que qualquer valor de satisfaz a equação, indicando que há infinitas soluções. Vamos expressar as soluções em termos de , onde é um número real.
Resposta
As soluções do sistema são todas as triplas x = 3 + t, y = -2 - t, z = t tais que: