Resolva a equação y^prime+3 x y=4 x^2 y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que tem um termo não linear devido ao . Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que é uma técnica específica para resolver equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação para encaixar na forma da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
y^prime + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso:

Passo 3

O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
v = y^1 - n = y^-2
Isso facilita a resolução porque agora vamos trabalhar com em vez de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de v^prime = ddx (y^-2) = -2 y^-3 y^prime em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir na equação original.

Passo 5

Substituímos -2 y^-3 y^prime + 3x y = 4x^2 y^3 na equação original usando a expressão de y^prime = 4x^2 y^3 - 3x y-2 y^-3 = -4x^2 y^3 + 3x y2 y^-3 = -4x^2 y^6 + 3x y^42 :
Vamos reorganizar isso para isolar :
Mas isso complica as coisas, então vamos seguir o método padrão substituindo e simplificando corretamente.

Passo 6

De volta à nossa equação após a substituição:
v^prime + (1 - n) P(x) v = (1 - n) Q(x)
Substituindo v^prime + (1 - 3)(3x) v = (1 - 3)(4x^2) , v^prime - 6x v = -8x^2 e :
Agora temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante mu(x) = e^integral -6x dx = e^-3x^2 :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por e^-3x^2 v^prime - 6x e^-3x^2 v = -8x^2 e^-3x^2 :
ddx ( e^-3x^2 v ) = -8x^2 e^-3x^2
Isso simplifica a equação para:

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a e^-3x^2 v = integral -8x^2 e^-3x^2 dx + C :
integral -8x^2 e^-3x^2 dx = 86 e^-3x^2 + C = 43 e^-3x^2 + C
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Deixe , então . Ajustando os termos:

Passo 10

Agora, resolvemos para v = e^3x^2 ( 43 e^-3x^2 + C ) = 43 + C e^3x^2 :
y^-2 = 43 + C e^3x^2
Lembrando que , então:

Resposta

Isolando y = ( 43 + C e^3x^2 )^-1/2 , temos:
y(x) = 1raiz 43 + C e^3x^2
Onde é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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Resolva a equação de Bernoulli: y^prime+2 y=3 y^2.
Seja A a matriz
[ll 2 & 0 4 & 1 ]
Em cada parte, calcule a quantidade dada. A^3