Resolva a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que tem um termo não linear devido ao
. Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que é uma técnica específica para resolver equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação para encaixar na forma da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso:
Passo 3
O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Isso facilita a resolução porque agora vamos trabalhar com
em vez de
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 5
Substituímos
na equação original usando a expressão de
:
Vamos reorganizar isso para isolar
:
Mas isso complica as coisas, então vamos seguir o método padrão substituindo e simplificando corretamente.
Passo 6
De volta à nossa equação após a substituição:
Substituindo
,
e
:
Agora temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Deixe
, então
. Ajustando os termos:
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
Isolando
, temos:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: