Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que tem um termo não linear devido ao . Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que é uma técnica específica para resolver equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação para encaixar na forma da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso:
Passo 3
O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Isso facilita a resolução porque agora vamos trabalhar com em vez de .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir na equação original.
Passo 5
Substituímos na equação original usando a expressão de :
Vamos reorganizar isso para isolar :
Mas isso complica as coisas, então vamos seguir o método padrão substituindo e simplificando corretamente.
Passo 6
De volta à nossa equação após a substituição:
Substituindo , e :
Agora temos uma equação linear em termos de .
Passo 7
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica a equação para:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a :
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Deixe , então . Ajustando os termos:
Passo 10
Agora, resolvemos para :
Lembrando que , então:
Resposta
Isolando , temos:
Onde é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: