Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por
. Cada mesa é vendida por
. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre um fabricante de móveis que quer descobrir quantas mesas ele deve produzir por semana para maximizar o lucro. A gente vai trabalhar com funções de custo e receita, além de usar derivadas para encontrar esse ponto de máximo. Precisamos entender como calcular o lucro e depois otimizar esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é lucro. Lucro é a diferença entre a receita que você ganha vendendo os produtos e o custo de produzi-los. Então, a fórmula do lucro
é:
Passo 3
A receita é o quanto você ganha vendendo as mesas. Cada mesa é vendida por R$ 280,00, então a receita
para vender
mesas é:
Passo 4
O custo de produzir
mesas é dado pela função
. Então, já temos a função de custo.
Passo 5
Agora, vamos montar a função de lucro substituindo as funções de receita e custo na fórmula do lucro:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro
é igual a zero. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar os valores críticos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Isso nos dá duas soluções:
Como não faz sentido produzir um número negativo de mesas, descartamos
.
Passo 9
Agora, para confirmar que
realmente maximiza o lucro, vamos verificar a segunda derivada
:
Substituindo
:
Como o resultado é negativo, isso confirma que temos um ponto de máximo.
Passo 10
Finalmente, vamos calcular o lucro máximo substituindo
na função lucro
:
Resposta
A produção semanal que maximiza o lucro é de 12 mesas, e o lucro máximo semanal possível é de R$ 2.524,00.
Exercícios relacionados
Mostre que a cúbica
tem um único ponto de inflexão.
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde:
é a curva da intersecção do plano
com o cilindo
Calcule os limites:
Calcuie a integral curvilínea, sendo
e
é a interseção das superfícies
e
.