Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por . Cada mesa é vendida por . Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre um fabricante de móveis que quer descobrir quantas mesas ele deve produzir por semana para maximizar o lucro. A gente vai trabalhar com funções de custo e receita, além de usar derivadas para encontrar esse ponto de máximo. Precisamos entender como calcular o lucro e depois otimizar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é lucro. Lucro é a diferença entre a receita que você ganha vendendo os produtos e o custo de produzi-los. Então, a fórmula do lucro é:

Passo 3

A receita é o quanto você ganha vendendo as mesas. Cada mesa é vendida por R$ 280,00, então a receita para vender mesas é:

Passo 4

O custo de produzir mesas é dado pela função . Então, já temos a função de custo.

Passo 5

Agora, vamos montar a função de lucro substituindo as funções de receita e custo na fórmula do lucro:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro é igual a zero. Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores críticos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso nos dá duas soluções:
Como não faz sentido produzir um número negativo de mesas, descartamos .

Passo 9

Agora, para confirmar que realmente maximiza o lucro, vamos verificar a segunda derivada :
Substituindo :
Como o resultado é negativo, isso confirma que temos um ponto de máximo.

Passo 10

Finalmente, vamos calcular o lucro máximo substituindo na função lucro :

Resposta

A produção semanal que maximiza o lucro é de 12 mesas, e o lucro máximo semanal possível é de R$ 2.524,00.

Exercícios relacionados

Mostre que a cúbica tem um único ponto de inflexão.
Use o Teorema de Stokes para calcular onde:

é a curva da intersecção do plano com o cilindo
Calcule os limites:
Calcuie a integral curvilínea, sendo e é a interseção das superfícies e .