Calcula as derivadas laterais de cada função nos pontos indicados. f(x) = {-x^2 + 8 se x > 2, x^2 se x < 2} no ponto x = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada aqui é calcular as derivadas laterais da função no ponto . Isso significa que vamos achar a derivada quando nos aproximamos de pela esquerda e pela direita. Para isso, vamos precisar entender como a função está definida em cada lado de e usar as regras de derivação básica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar como a função está definida:
Então, para calcular as derivadas laterais, vamos considerar cada caso separadamente.

Passo 3

Vamos começar pela derivada à esquerda de , ou seja, quando está chegando a 2 vindo dos valores menores que 2 ( ). Nessa região, a função é .
A derivada de em relação a é:
Agora, avaliamos essa derivada em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à direita de , ou seja, quando está chegando a 2 vindo dos valores maiores que 2 ( ). Nessa região, a função é .
A derivada de em relação a é:
Agora, avaliamos essa derivada em :

Resposta

As derivadas laterais da função no ponto são:
  • Derivada à esquerda:
  • Derivada à direita:

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