Calcula as derivadas laterais de cada função nos pontos indicados. f(x) = { x² - 2x se x < 0, -x² + 2x se x ≥ 0 } no ponto x = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas laterais de uma função que tem duas partes diferentes, dependendo se é menor que 0 ou maior ou igual a 0. Isso faz parte do estudo das derivadas, especificamente das derivadas laterais, que nos mostram a taxa de variação da função quando nos aproximamos de um ponto por um lado ou pelo outro. Vamos precisar entender como calcular derivadas usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda no ponto . Isso significa que estamos olhando para o comportamento da função conforme nos aproximamos de 0 vindo de valores menores que 0.
A função para é:
A derivada pela esquerda é o limite da razão da variação da função quando se aproxima de 0 pela esquerda:
Vamos calcular :
Como define :
Agora, substituindo na expressão da derivada pela esquerda:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela direita no ponto . Aqui, olhamos para o comportamento da função conforme nos aproximamos de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0.
A função para é:
A derivada pela direita é:
Já sabemos que , então:

Resposta

A derivada pela esquerda em é e a derivada pela direita em é .

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