Calcula as derivadas laterais de cada função nos pontos indicados.
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas laterais de uma função que tem duas partes diferentes, dependendo se
é menor que 0 ou maior ou igual a 0. Isso faz parte do estudo das derivadas, especificamente das derivadas laterais, que nos mostram a taxa de variação da função quando nos aproximamos de um ponto por um lado ou pelo outro. Vamos precisar entender como calcular derivadas usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada pela esquerda no ponto
. Isso significa que estamos olhando para o comportamento da função conforme nos aproximamos de 0 vindo de valores menores que 0.
A função para
é:
A derivada pela esquerda é o limite da razão da variação da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda:
Vamos calcular
:
Como define
:
Como
Agora, substituindo na expressão da derivada pela esquerda:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela direita no ponto
. Aqui, olhamos para o comportamento da função conforme nos aproximamos de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0.
A função para
é:
A derivada pela direita é:
Já sabemos que
, então:
Resposta
A derivada pela esquerda em
é
e a derivada pela direita em
é
.