Calcula as derivadas laterais de cada função nos pontos indicados. f(x) = { (x^2 - 3x + 3) / (x^2 + 1) se x < 1, x^2 - 2x + 5 se x ≥ 1 } no ponto x = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de maneira diferente para valores de menores que 1 e para valores maiores ou iguais a 1. Nosso objetivo é calcular as derivadas laterais dessa função no ponto . Isso envolve entender o que são derivadas laterais e como calcular em pontos onde a função muda de definição. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas laterais. A derivada à esquerda ( ) é a derivada quando se aproxima de 1 por valores menores, ou seja, . Já a derivada à direita ( ) é quando se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada à esquerda . Para isso, vamos usar a parte da função definida para :
Precisamos derivar essa expressão em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivadas, onde se , então:
Vamos identificar e :

Passo 5

Calculando as derivadas de e :
Agora, aplicando na fórmula da regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Agora, vamos avaliar :

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada à direita . Para , a função é:
Essa é uma função polinomial simples, cuja derivada é direta.

Passo 9

Derivando em relação a :

Passo 10

Avaliando em :

Resposta

As derivadas laterais da funç��o no ponto são:

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