Calcula as derivadas laterais de cada função nos pontos indicados.
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de maneira diferente para valores de
menores que 1 e para valores maiores ou iguais a 1. Nosso objetivo é calcular as derivadas laterais dessa função no ponto
. Isso envolve entender o que são derivadas laterais e como calcular em pontos onde a função muda de definição. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas laterais. A derivada à esquerda (
) é a derivada quando
se aproxima de 1 por valores menores, ou seja,
. Já a derivada à direita (
) é quando
se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada à esquerda
. Para isso, vamos usar a parte da função definida para
:
Precisamos derivar essa expressão em relação a
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para derivadas, onde se
, então:
Vamos identificar
e
:
Passo 5
Calculando as derivadas de
e
:
Agora, aplicando na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada à direita
. Para
, a função é:
Essa é uma função polinomial simples, cuja derivada é direta.
Passo 9
Derivando
em relação a
:
Passo 10
Avaliando em
:
Resposta
As derivadas laterais da fun�o no ponto
são: