Representa graficamente a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar o gráfico da função derivada da função
. Isso significa que vamos primeiro encontrar a derivada dessa função e depois desenhar o gráfico dessa derivada. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender um pouco sobre gráficos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto da função original. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação.
Passo 3
Aplicando a regra do poder para derivadas, que diz que a derivada de
é
, vamos derivar cada termo separadamente:
- Derivada de
é - Derivada de
é (já que a derivada de é 1)
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos termos, temos:
Passo 5
Com a derivada
, vamos entender seu comportamento para desenhar o gráfico. Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo.
Passo 6
Vamos identificar pontos importantes no gráfico da derivada:
- Vértice: Como é uma parábola, o vértice pode ser encontrado usando a fórmula
. Aqui, e , então . Substituindo, . Então, o vértice está no ponto (0, -3). - Intercepto com o eixo Y: Já vimos que em
, . - Intercepto com o eixo X: Para encontrar onde a parábola cruza o eixo X, resolvemos
: Então, os interceptos com o eixo X estão em e .
Passo 7
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da derivada:
- A parábola tem seu vértice em (0, -3).
- Passa pelos pontos (½, 0) e (-½, 0).
- Abre para cima.
Resposta
A função derivada é
e seu gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em (0, -3) e interceptos com o eixo X em
e
.