Representa graficamente a função derivada das seguintes funções: f(x) = 4x^3 - 3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar o gráfico da função derivada da função . Isso significa que vamos primeiro encontrar a derivada dessa função e depois desenhar o gráfico dessa derivada. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender um pouco sobre gráficos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto da função original. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação.

Passo 3

Aplicando a regra do poder para derivadas, que diz que a derivada de é , vamos derivar cada termo separadamente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é (já que a derivada de é 1)

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos termos, temos:

Passo 5

Com a derivada , vamos entender seu comportamento para desenhar o gráfico. Essa é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo.

Passo 6

Vamos identificar pontos importantes no gráfico da derivada:
  • Vértice: Como é uma parábola, o vértice pode ser encontrado usando a fórmula . Aqui, e , então . Substituindo, . Então, o vértice está no ponto (0, -3).
  • Intercepto com o eixo Y: Já vimos que em , .
  • Intercepto com o eixo X: Para encontrar onde a parábola cruza o eixo X, resolvemos : Então, os interceptos com o eixo X estão em e .

Passo 7

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da derivada:
  • A parábola tem seu vértice em (0, -3).
  • Passa pelos pontos (½, 0) e (-½, 0).
  • Abre para cima.

Resposta

A função derivada é e seu gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em (0, -3) e interceptos com o eixo X em e .

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