Calcula el área de las siguientes regiones:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a área da região definida por:
Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas abaixo de uma curva usando integrais. Vamos precisar usar a integral da função no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da região significa:
  • : A região está abaixo da curva .
  • : A região está acima do eixo (eixo x).
  • : Consideramos apenas o intervalo de entre 1 e 2.
Então, a área que queremos é a área entre a curva e o eixo , de a .

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a integral definida da função que está no topo menos a função de baixo. Nesse caso, a função de cima é e a de baixo é 0. Assim, a fórmula fica:
Á

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de . Sabemos que:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a 2 na antiderivada que encontramos:
Á
Sabemos que , então simplificamos:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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Verifique en cada caso que :
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración: