Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla de uma função
sobre um certo domínio. O objetivo é reescrever essa integral, mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como o domínio está definido e como podemos descrevê-lo de outra maneira para inverter a ordem das integrais.
Passo 2
A integral dada é:
Aqui,
varia de 1 a 4, e para cada valor de
,
varia de
a 2. Vamos visualizar isso para entender melhor o domínio de integração.
Passo 3
Vamos desenhar o domínio no plano
. Sabemos que
é uma parábola que abre para a direita. Com
indo de 1 a 4,
vai de 1 (
) até 2. Então, a região de integração está limitada pela curva
, pela linha
, e pelas linhas verticais
e
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Da equação
, podemos resolver para
:
Agora, observando o domínio, para cada
entre 1 e 2,
varia de 1 até
.
Passo 5
Com isso, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem de
e
. Assim, a nova expressão será:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
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Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.
Seja
a. Verifique que para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
a. Verifique que
b. Verifique que
Croquizar en cada caso el dominio D y calcular la integral doble correspondiente:
Calcula el área de las siguientes regiones: