Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla de uma função sobre um certo domínio. O objetivo é reescrever essa integral, mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como o domínio está definido e como podemos descrevê-lo de outra maneira para inverter a ordem das integrais.

Passo 2

A integral dada é:
Aqui, varia de 1 a 4, e para cada valor de , varia de a 2. Vamos visualizar isso para entender melhor o domínio de integração.

Passo 3

Vamos desenhar o domínio no plano . Sabemos que é uma parábola que abre para a direita. Com indo de 1 a 4, vai de 1 ( ) até 2. Então, a região de integração está limitada pela curva , pela linha , e pelas linhas verticais e .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Da equação , podemos resolver para :
Agora, observando o domínio, para cada entre 1 e 2, varia de 1 até .

Passo 5

Com isso, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem de e . Assim, a nova expressão será:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.
Seja
a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .
Croquizar en cada caso el dominio D y calcular la integral doble correspondiente:
Calcula el área de las siguientes regiones: