Verifique en cada caso que integrala^b integralc^d f(x, y) d y d x=integralc^d integrala^b f(x, y) d x d y : a=-2, b=-1, c=0, d=3, f(x, y)=4 x y^3+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se as integrais duplas
integral-2^-1 integral0^3 (4x y^3 + y) , dy , dx
e
integral0^3 integral-2^-1 (4x y^3 + y) , dx , dy
são iguais. Isso está relacionado ao Teorema de Fubini, que nos diz que, se a função for contínua em um retângulo, podemos trocar a ordem de integração sem problema. Vamos fazer o cálculo de cada uma para confirmar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral na ordem integral-2^-1 integral0^3 (4x y^3 + y) , dy , dx primeiro e depois integral0^3 (4x y^3 + y) , dy :
integral 4x y^3 , dy = 4x cdot y^44 = x y^4
Começamos resolvendo a integral interna, que é em relação a integral y , dy = y^22 :
x y^4 + y^22 |0^3
Aqui, x (3)^4 + (3)^22 - ( x (0)^4 + (0)^22 ) = 81x + 92 é tratado como uma constante. Vamos integrar termo a termo:
integral-2^-1 (81x + 92) , dx = 81 integral-2^-1 x , dx + 92 integral-2^-1 , dx
81 cdot x^22 |-2^-1 + 92 cdot (x) |-2^-1
Então, a integral interna fica:
81 cdot ( (-1)^22 - (-2)^22 ) + 92 cdot (-1 - (-2)) = 81 cdot ( 12 - 2 ) + 92 cdot 1 = 81 cdot ( -32 ) + 92 = -2432 + 92 = -117
Substituindo os limites:
Agora, integremos isso em relação a de -2 a -1:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral na ordem integral0^3 integral-2^-1 (4x y^3 + y) , dx , dy primeiro e depois integral-2^-1 (4x y^3 + y) , dx :
integral 4x y^3 , dx = 4y^3 cdot x^22 = 2y^3 x^2
Começamos pela integral interna, que é em relação a integral y , dx = yx :
2y^3 x^2 + yx |-2^-1
Aqui, 2y^3 (-1)^2 + y(-1) - ( 2y^3 (-2)^2 + y(-2) ) = 2y^3 (1) - y - ( 2y^3 (4) - 2y ) = 2y^3 - y - 8y^3 + 2y = -6y^3 + y é tratado como uma constante. Integramos termo a termo:
integral0^3 (-6y^3 + y) , dy = -6 integral0^3 y^3 , dy + integral0^3 y , dy
-6 cdot y^44 |0^3 + y^22 |0^3 = -64 (81 - 0) + 12 (9 - 0) = -4864 + 92 = -121.5 + 4.5 = -117
Então, a integral interna fica:
Substituindo os limites:
Agora, integremos isso em relação a de 0 a 3:
Calculando as integrais:

Resposta

As duas integrais iteradas são iguais e o valor final é .

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