Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se as integrais duplas
e
são iguais. Isso está relacionado ao Teorema de Fubini, que nos diz que, se a função for contínua em um retângulo, podemos trocar a ordem de integração sem problema. Vamos fazer o cálculo de cada uma para confirmar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral na ordem primeiro e depois :
Começamos resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante. Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral interna fica:
Substituindo os limites:
Agora, integremos isso em relação a de -2 a -1:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral na ordem integral0^3 integral-2^-1 (4x y^3 + y) , dx , dy primeiro e depois integral-2^-1 (4x y^3 + y) , dx :
integral 4x y^3 , dx = 4y^3 cdot x^22 = 2y^3 x^2
Começamos pela integral interna, que é em relação a integral y , dx = yx :
2y^3 x^2 + yx |-2^-1
Aqui, 2y^3 (-1)^2 + y(-1) - ( 2y^3 (-2)^2 + y(-2) ) = 2y^3 (1) - y - ( 2y^3 (4) - 2y ) = 2y^3 - y - 8y^3 + 2y = -6y^3 + y é tratado como uma constante. Integramos termo a termo:
integral0^3 (-6y^3 + y) , dy = -6 integral0^3 y^3 , dy + integral0^3 y , dy