Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um círculo com raio usando integrais duplas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais duplas que ajudam a calcular áreas em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um círculo com raio tem equação . Para usar integrais duplas, precisamos definir os limites de integração que descrevem essa área.

Passo 3

Uma maneira fácil de fazer isso é usar coordenadas polares, porque a simetria do círculo se encaixa bem nesse sistema. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por , onde é a distância do ponto até a origem (nosso raio ) e é o ângulo.

Passo 4

A área em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 7

Resolvendo a integral externa:
Então:

Resposta

A área do círculo de raio é .

Exercícios relacionados

Seja
a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Croquizar en cada caso el dominio D y calcular la integral doble correspondiente: