Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um círculo com raio usando integrais duplas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais duplas que ajudam a calcular áreas em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um círculo com raio tem equação . Para usar integrais duplas, precisamos definir os limites de integração que descrevem essa área.

Passo 3

Uma maneira fácil de fazer isso é usar coordenadas polares, porque a simetria do círculo se encaixa bem nesse sistema. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por , onde é a distância do ponto até a origem (nosso raio ) e é o ângulo.

Passo 4

A área em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 7

Resolvendo a integral externa:
Então:

Resposta

A área do círculo de raio é .

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