Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um círculo com raio
usando integrais duplas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais duplas que ajudam a calcular áreas em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um círculo com raio
tem equação
. Para usar integrais duplas, precisamos definir os limites de integração que descrevem essa área.
Passo 3
Uma maneira fácil de fazer isso é usar coordenadas polares, porque a simetria do círculo se encaixa bem nesse sistema. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem (nosso raio
) e
é o ângulo.
Passo 4
A área em coordenadas polares é dada por:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 7
Resolvendo a integral externa:
Então:
Resposta
A área do círculo de raio
é
.
Exercícios relacionados
Seja
a. Verifique que para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
a. Verifique que
b. Verifique que
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Croquizar en cada caso el dominio D y calcular la integral doble correspondiente: