Seja f(x, y)=lx y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) ; 0 , se (x, y)=(0,0)
a. Verifique que partial fpartial x(0, y)=y para todo y, e que partial fpartial y(x, 0)=0, para todo x.
b. Verifique que partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0 e que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para quando e outra quando . O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e checar certos valores dessas derivadas em pontos específicos. Vamos precisar usar o conceito de derivada parcial e como calculá-las usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que partial fpartial x(0, y) = limh to 0 f(0 + h, y) - f(0, y)h para qualquer partial fpartial x(0, y) = limh to 0 f(h, y)h = limh to 0 h y^3h^2 + y^2h = limh to 0 y^3h^2 + y^2 . A derivada parcial de partial fpartial x(0, y) = y^3y^2 = y em relação a no ponto é definida como:
Sabemos que , então a expressão fica:
Quando tende a 0, fica desprezível em relação a , então:
Portanto, mostramos que .

Passo 3

Agora, vamos verificar que partial fpartial y(x, 0) = limk to 0 f(x, 0 + k) - f(x, 0)k para qualquer partial fpartial y(x, 0) = limk to 0 f(x, k)k = limk to 0 x k^3x^2 + k^2k = limk to 0 x k^2x^2 + k^2 . A derivada parcial de partial fpartial y(x, 0) = x cdot 0x^2 + 0 = 0 em relação a no ponto é:
Sabemos que , então:
Aqui, quando tende a 0, também tende a 0, então:
Assim, .

Passo 4

Agora vamos para a parte b, onde precisamos verificar as derivadas parciais de segunda ordem no ponto partial fpartial y(0, y) = 0 (já vimos no Passo 3) .
Primeiro, partial^2 fpartial x partial y(0,0) = partialpartial x ( partial fpartial y(0, y) ) g|y=0 = partialpartial x (0) = 0 . Isso significa que vamos derivar primeiro em relação a partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial y ( partial fpartial x(0, y) ) g|y=0 = partialpartial y (y) g|y=0 = 1 e depois em relação a :
á
Então, derivando em relação a :
Agora, para , derivamos primeiro em relação a e depois em relação a :
Já sabemos que . Agora, derivando isso em relação a :

Resposta

a. para todo e para todo .
b. e .

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