Seja
a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para quando e outra quando . O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e checar certos valores dessas derivadas em pontos específicos. Vamos precisar usar o conceito de derivada parcial e como calculá-las usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que para qualquer . A derivada parcial de em relação a no ponto é definida como:
Sabemos que , então a expressão fica:
Quando tende a 0, fica desprezível em relação a , então:
Portanto, mostramos que .

Passo 3

Agora, vamos verificar que para qualquer . A derivada parcial de em relação a no ponto é:
Sabemos que , então:
Aqui, quando tende a 0, também tende a 0, então:
Assim, .

Passo 4

Agora vamos para a parte b, onde precisamos verificar as derivadas parciais de segunda ordem no ponto .
Primeiro, . Isso significa que vamos derivar primeiro em relação a e depois em relação a :
á
Então, derivando em relação a :
Agora, para , derivamos primeiro em relação a e depois em relação a :
Já sabemos que . Agora, derivando isso em relação a :

Resposta

a. para todo e para todo .
b. e .

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