Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que está organizada de uma certa forma, e o objetivo aqui é mudar a ordem das integrais. A matéria que estamos lidando é Cálculo de Integrais Duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e redesenhar os limites de integração para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral original está fazendo. Temos:
Aqui, para cada valor de
entre 1 e 2,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região de integração no plano
. Precisamos desenhar as curvas que definem os limites de
:
-
: é uma reta que desce de quando até quando . -
: é a parte positiva de uma semicircunferência com raio 1 e centro em .
Passo 4
Com essas curvas desenhadas, percebemos que a região de integração está entre
e
, e para cada
,
vai de
até a curva da semicircunferência.
Passo 5
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Olhando para as curvas:
- Da reta
, podemos resolver para : . - Da semicircunferência
, elevando ao quadrado: , o que dá . Resolvendo para :
Como
varia de 1 a 2, usamos
.
Passo 6
Agora, determinamos os novos limites para
. Observando as intersecções das curvas:
Quando
,
.
Quando
,
.
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 7
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida. Agora, para cada
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Verifique en cada caso que
:
Explique o que significa dizer que a reta
é uma assíntota horizontal da função
. Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Seja
a. Verifique que para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
a. Verifique que
b. Verifique que
Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.