Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que está organizada de uma certa forma, e o objetivo aqui é mudar a ordem das integrais. A matéria que estamos lidando é Cálculo de Integrais Duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e redesenhar os limites de integração para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral original está fazendo. Temos:
Aqui, para cada valor de entre 1 e 2, varia de até .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região de integração no plano . Precisamos desenhar as curvas que definem os limites de :
  1. : é uma reta que desce de quando até quando .
  2. : é a parte positiva de uma semicircunferência com raio 1 e centro em .

Passo 4

Com essas curvas desenhadas, percebemos que a região de integração está entre e , e para cada , vai de até a curva da semicircunferência.

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Olhando para as curvas:
  • Da reta , podemos resolver para : .
  • Da semicircunferência , elevando ao quadrado: , o que dá . Resolvendo para :
Como varia de 1 a 2, usamos .

Passo 6

Agora, determinamos os novos limites para . Observando as intersecções das curvas:
Quando , .
Quando , .
Então, varia de 0 a 1.

Passo 7

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida. Agora, para cada entre 0 e 1, varia de até .

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:

Exercícios relacionados

Verifique en cada caso que :
Explique o que significa dizer que a reta é uma assíntota horizontal da função . Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Seja
a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .
Calcula la fórmula del área del círculo de radio r utilizando integrales dobles.