Calcule a área das superfícies abaixo:
S: é a parte do cone z = raiz(x^2 + y^2) que está entre os planos xy e 2z - y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície , que é a parte do cone dado por que fica entre o plano (ou seja, quando ) e o plano . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a parte do cone que estamos analisando. O cone é definido por , o que significa que para cada ponto , a altura é igual à distância desse ponto à origem no plano .

Passo 3

Agora, vamos identificar até onde esse cone se estende entre os dois planos. Temos o plano onde , e o plano . Para encontrar a interseção, substituímos do cone na equação do plano:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Essa é a equação da curva de interseção entre o cone e o plano.

Passo 5

Para calcular a área da superfície , vamos usar a fórmula da área de superfície para uma função :
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 6

Agora, precisamos determinar a região no plano que corresponde à projeção da superfície . A equação da curva de interseção já ficou complicada, mas percebemos que podemos simplificar trocando para coordenadas polares, onde e .
Substituindo na equação:
Assim, a região em coordenadas polares é definida por variando de 0 até e variando de 0 a .

Passo 7

Calcular a área de em coordenadas polares é mais fácil. A área em coordenadas polares é dada por:
Á
Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
Á
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração de funções trigonométricas. Após calcular, obtemos um resultado numérico.

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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