Calcule a área das superfícies abaixo:
S: é a parte do cilindro x^2 + y^2 = 4, com 0 <= z <= 5, delimitada pelos semiplanos y = 2x, y = x e x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um cilindro definido pela equação , que significa que o raio do cilindro é 2. Esse cilindro vai do ponto onde até . Além disso, estamos limitando essa parte do cilindro pelos semiplanos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre a área da superfície lateral de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a parte do cilindro que estamos considerando. Como , estamos olhando apenas para a metade direita do cilindro. Os semiplanos e vão delimitar uma fatia angular na base do cilindro. Precisamos descobrir qual é o ângulo dessa fatia para poder calcular a área da superfície lateral correspondente.

Passo 3

Vamos calcular o ângulo entre os semiplanos e . Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente inversa (arctan). Para , o ângulo é radianos. Para , o ângulo é radianos. A diferença entre esses dois ângulos nos dará o ângulo total da fatia: .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da superfície lateral do cilindro para essa fatia angular. A fórmula geral para a área lateral de um cilindro é , onde é o raio e é a altura. Mas como estamos trabalhando com apenas uma fatia do cilindro, precisamos ajustar a fórmula multiplicando pelo fator :
Substituindo os valores que temos: e , a área fica:

Resposta

A área das superfícies é aproximadamente unidades quadradas.

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