Calcule a área das superfícies abaixo:
S: é a parte do cilindro
, com
, delimitada pelos semiplanos
e
S: é a parte do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um cilindro definido pela equação
, que significa que o raio do cilindro é 2. Esse cilindro vai do ponto onde
até
. Além disso, estamos limitando essa parte do cilindro pelos semiplanos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre a área da superfície lateral de cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a parte do cilindro que estamos considerando. Como
, estamos olhando apenas para a metade direita do cilindro. Os semiplanos
e
vão delimitar uma fatia angular na base do cilindro. Precisamos descobrir qual é o ângulo dessa fatia para poder calcular a área da superfície lateral correspondente.
Passo 3
Vamos calcular o ângulo entre os semiplanos
e
. Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente inversa (arctan). Para
, o ângulo é
radianos. Para
, o ângulo é
radianos. A diferença entre esses dois ângulos nos dará o ângulo total da fatia:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da superfície lateral do cilindro para essa fatia angular. A fórmula geral para a área lateral de um cilindro é
, onde
é o raio e
é a altura. Mas como estamos trabalhando com apenas uma fatia do cilindro, precisamos ajustar a fórmula multiplicando pelo fator
:
Substituindo os valores que temos:
e
, a área fica:
Resposta
A área das superfícies é aproximadamente
unidades quadradas.