Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer transformar a função em uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula que você mencionou: , válida para . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observamos que o denominador é . Podemos reescrever isso como , onde . Assim, nossa função fica:

Passo 3

Sabemos que a série para pode ser obtida derivando a série original em relação a . Vamos fazer isso:
Portanto,

Passo 4

Agora, substituímos na série:

Passo 5

Não esqueçamos do que está na frente da fração original. Multiplicamos a série que encontramos por :

Passo 6

Agora, identificamos a série de potências correta:

Passo 7

Para determinar o raio e o intervalo de convergência, voltamos à condição inicial da série geométrica que usamos: . Como , temos:
Isso significa que o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências que representa é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Verifica-se que a série de Taylor da função em torno de é:
As somas parciais podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de da calculadora.
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que , compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(a)
Numa calculadora aproxima-se o valor de , para todo , pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de em série de Taylor em torno do ponto .
(a) Qual a aproximação de fornecida pela calculadora?