Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer transformar a função
em uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a fórmula que você mencionou:
, válida para
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observamos que o denominador é
. Podemos reescrever isso como
, onde
. Assim, nossa função fica:
Passo 3
Sabemos que a série para
pode ser obtida derivando a série original
em relação a
. Vamos fazer isso:
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos
na série:
Passo 5
Não esqueçamos do
que está na frente da fração original. Multiplicamos a série que encontramos por
:
Passo 6
Agora, identificamos a série de potências correta:
Passo 7
Para determinar o raio e o intervalo de convergência, voltamos à condição inicial da série geométrica que usamos:
. Como
, temos:
Isso significa que o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências que representa
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.