Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h) x^3(1-x^4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer transformar a função em uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula que você mencionou: , válida para . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observamos que o denominador é x^3(1 - x^4)^2 = x^3(1 - u)^2 . Podemos reescrever isso como , onde . Assim, nossa função fica:

Passo 3

Sabemos que a série para ddu (11 - u) = 1(1 - u)^2 = sumn=0^infty (n + 1) u^n pode ser obtida derivando a série original 1(1 - u)^2 = sumn=0^infty (n + 1) u^n em relação a . Vamos fazer isso:
Portanto,

Passo 4

Agora, substituímos 1(1 - x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) (x^4)^n = sumn=0^infty (n + 1) x^4n na série:

Passo 5

Não esqueçamos do x^3(1 - x^4)^2 = x^3 cdot sumn=0^infty (n + 1) x^4n = sumn=0^infty (n + 1) x^3 + 4n que está na frente da fração original. Multiplicamos a série que encontramos por :

Passo 6

Agora, identificamos a série de potências correta:
x^3(1 - x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^4n + 3

Passo 7

Para determinar o raio e o intervalo de convergência, voltamos à condição inicial da série geométrica que usamos: |x^4| < 1 Rightarrow |x| < 1 . Como , temos:
Isso significa que o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências que representa x^3(1 - x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^4n + 3 é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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