Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer transformar a função
em uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a fórmula que você mencionou:
, válida para
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observamos que o denominador é
. Podemos reescrever isso como
, onde
. Assim, nossa função fica:
Passo 3
Sabemos que a série para
pode ser obtida derivando a série original
em relação a
. Vamos fazer isso:
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos
na série:
Passo 5
Não esqueçamos do
que está na frente da fração original. Multiplicamos a série que encontramos por
:
Passo 6
Agora, identificamos a série de potências correta:
Passo 7
Para determinar o raio e o intervalo de convergência, voltamos à condição inicial da série geométrica que usamos:
. Como
, temos:
Isso significa que o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências que representa
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Verifica-se que a série de Taylor da função
em torno de
é:
As somas parciais
podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de
de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de
da calculadora.
© Compare estes dois procedimentos com
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que
, compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(a)
(a)
Numa calculadora aproxima-se o valor de
, para todo
, pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de
em série de Taylor em torno do ponto
.
(a) Qual a aproximação de fornecida pela calculadora?
(a) Qual a aproximação de