Calculai o produto vetorial u x v entre os vetores u e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) u = <-5, 3, 1> e v = <-4, 6, 2>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto vetorial u x v entre os vetores e , além de encontrar a área do paralelogramo formado por eles. A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a geometria do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u x v. O produto vetorial entre dois vetores em três dimensões resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes de u e v:
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando cada parte:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:
Então:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. A área é dada pelo módulo do produto vetorial:
Á
Calculando o módulo do vetor resultante :

Resposta

O produto vetorial u x v é e a área do paralelogramo formado por eles é unidades de área.

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