Para os vetores
e vabaixo, encontrai as projeções
e
, assim como o ângulo
entre os vetores.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A matéria que a gente vai usar aqui é a de projeções de vetores e cálculo de ângulo entre vetores. Para resolver, a gente vai precisar lembrar das fórmulas de projeção e do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a projeção de
sobre
, que a gente denota por
. A fórmula para a projeção é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o módulo de
ao quadrado.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Legal, o produto escalar deu zero!
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Com esses valores, a projeção de
sobre
fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a projeção de
sobre
, ou seja,
. A fórmula é similar:
Já sabemos que
. Vamos calcular
:
Passo 7
Então, a projeção de
sobre
fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular o ângulo
entre os vetores. A fórmula para o ângulo é:
Já vimos que
. Quando o produto escalar é zero, significa que o ângulo entre os vetores é de 90 graus, ou seja, os vetores são perpendiculares.
Resposta
A projeção de
sobre
é
, a projeção de
sobre
é
, e o ângulo entre os vetores é
.
Exercícios relacionados
Para os vetores
e vabaixo, encontrai as projeções
e
, assim como o ângulo
entre os vetores.
a) e
.
a)
Determine se a série converge ou diverge.
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) e
.
b)
Determine a inclinação da reta tangente em
da curva de interseção da superfície
e o plano
.