Para os vetores u e vabaixo, encontrai as projeções u_v e v_u, assim como o ângulo theta entre os vetores.
d) u = <3, 1, -2> e v = <1, -2, 1/2>.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e . A matéria que a gente vai usar aqui é a de projeções de vetores e cálculo de ângulo entre vetores. Para resolver, a gente vai precisar lembrar das fórmulas de projeção e do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção de u sobre v, que a gente denota por . A fórmula para a projeção é:
Aqui, u . v é o produto escalar dos vetores u e v, e é o módulo de v ao quadrado.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u . v:
Legal, o produto escalar deu zero!

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Com esses valores, a projeção de u sobre v fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a projeção de v sobre u, ou seja, . A fórmula é similar:
Já sabemos que . Vamos calcular :

Passo 7

Então, a projeção de v sobre u fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular o ângulo theta entre os vetores. A fórmula para o ângulo é:
Já vimos que . Quando o produto escalar é zero, significa que o ângulo entre os vetores é de 90 graus, ou seja, os vetores são perpendiculares.

Resposta

A projeção de u sobre v é , a projeção de v sobre u é , e o ângulo entre os vetores é .

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