Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e . A matéria que a gente vai usar aqui é a de projeções de vetores e cálculo de ângulo entre vetores. Para resolver, a gente vai precisar lembrar das fórmulas de projeção e do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção de sobre , que a gente denota por . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e é o módulo de ao quadrado.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :
Legal, o produto escalar deu zero!

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Com esses valores, a projeção de sobre fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a projeção de sobre , ou seja, . A fórmula é similar:
Já sabemos que . Vamos calcular :

Passo 7

Então, a projeção de sobre fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores. A fórmula para o ângulo é:
Já vimos que . Quando o produto escalar é zero, significa que o ângulo entre os vetores é de 90 graus, ou seja, os vetores são perpendiculares.

Resposta

A projeção de sobre é , a projeção de sobre é , e o ângulo entre os vetores é .

Exercícios relacionados

Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
a) e .
Determine se a série converge ou diverge.
Calculai o produto vetorial entre os vetores e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) e .
Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e o plano .