Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
a) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as projeções dos vetores em e vice-versa, além do ângulo entre eles. Estamos trabalhando com **projeções de vetores** e **ângulos entre vetores**, então vamos precisar usar o **produto escalar** e as **normas** dos vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é projeção de um vetor em outro. A **projeção** de em , denotada por , é basicamente a sombra de na direção de . A fórmula para calcular a projeção é:
Aqui, é o **produto escalar** dos vetores, e é a **norma** (ou comprimento) de .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de :
E, portanto, .
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a projeção de em :
Passo 6
Da mesma forma, vamos calcular a projeção de em :
Primeiro, a norma de :
E, portanto, .
Passo 7
Usando a fórmula da projeção:
Passo 8
Agora, para encontrar o ângulo entre os vetores, usamos a fórmula:
Já temos , e .
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula:
Para encontrar , aplicamos o arco cosseno:
Resposta
As projeções e o ângulo entre os vetores são:
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Calculai o produto escalar entre os vetores e abaixo.
c) e .
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
d) .
Calculai o produto vetorial entre os vetores e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) e .