Para os vetores u e vabaixo, encontrai as projeções u_v e v_u, assim como o ângulo theta entre os vetores.
a) u = <1, 4, 2> e v = <-2, -1, 0>.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as projeções dos vetores u em v e vice-versa, além do ângulo entre eles. Estamos trabalhando com projeções de vetores e ângulos entre vetores, então vamos precisar usar o produto escalar e as normas dos vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é projeção de um vetor em outro. A projeção de u em v, denotada por , é basicamente a sombra de u na direção de v. A fórmula para calcular a projeção é:
Aqui, u . v é o produto escalar dos vetores, e é a norma (ou comprimento) de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u . v:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de v:
E, portanto, .

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular a projeção de u em v:

Passo 6

Da mesma forma, vamos calcular a projeção de v em u:
Primeiro, a norma de u:
E, portanto, .

Passo 7

Usando a fórmula da projeção:

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo theta entre os vetores, usamos a fórmula:
Já temos , e .

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
Para encontrar theta, aplicamos o arco cosseno:

Resposta

As projeções e o ângulo entre os vetores são:

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