Para os vetores
e vabaixo, encontrai as projeções
e
, assim como o ângulo
entre os vetores.
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as projeções dos vetores
em
e vice-versa, além do ângulo entre eles. Estamos trabalhando com projeções de vetores e ângulos entre vetores, então vamos precisar usar o produto escalar e as normas dos vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é projeção de um vetor em outro. A projeção de
em
, denotada por
, é basicamente a sombra de
na direção de
. A fórmula para calcular a projeção é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
é a norma (ou comprimento) de
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
E, portanto,
.
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a projeção de
em
:
Passo 6
Da mesma forma, vamos calcular a projeção de
em
:
Primeiro, a norma de
:
E, portanto,
.
Passo 7
Usando a fórmula da projeção:
Passo 8
Agora, para encontrar o ângulo
entre os vetores, usamos a fórmula:
Já temos
,
e
.
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula:
Para encontrar
, aplicamos o arco cosseno:
Resposta
As projeções e o ângulo entre os vetores são: