Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores. a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as projeções dos vetores em e vice-versa, além do ângulo entre eles. Estamos trabalhando com **projeções de vetores** e **ângulos entre vetores**, então vamos precisar usar o **produto escalar** e as **normas** dos vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é projeção de um vetor em outro. A **projeção** de em , denotada por , é basicamente a sombra de na direção de . A fórmula para calcular a projeção é: Aqui, é o **produto escalar** dos vetores, e é a **norma** (ou comprimento) de .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de : E, portanto, .

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular a projeção de em :

Passo 6

Da mesma forma, vamos calcular a projeção de em : Primeiro, a norma de : E, portanto, .

Passo 7

Usando a fórmula da projeção:

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo entre os vetores, usamos a fórmula: Já temos , e .

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula: Para encontrar , aplicamos o arco cosseno:

Resposta

As projeções e o ângulo entre os vetores são:

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Determine se a série converge ou diverge.
Calculai o produto escalar entre os vetores e abaixo. c) e .
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores. d) .
Calculai o produto vetorial entre os vetores e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles. b) e .