Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de primeira ordem. Temos quatro funções dadas, cada uma definida por uma integral ou uma expressão com funções trigonométricas. O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais em relação às variáveis de cada função e também determinar o domínio de cada uma delas, ou seja, os conjuntos de valores para os quais as funções e suas derivadas estão bem definidas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
A derivada parcial de em relação a é:
Explicando: primeiro, derivamos a função interna em relação a , que é , e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em .

Passo 3

Agora, a derivada parcial de em relação a :
De forma similar, derivamos em relação a , que dá , e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em .

Passo 4

Vamos para a segunda função:
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , novamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.
A derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos o limite superior em relação a , que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em .

Passo 5

A derivada parcial de em relação a :
Dessa vez, derivamos o limite inferior em relação a , que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em , com sinal negativo porque está no limite inferior.

Passo 6

Agora, a terceira função:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos o limite inferior em relação a , que é , e multiplicamos pela função integranda avaliada em , com sinal negativo.

Passo 7

A derivada parcial de em relação a :
Dessa vez, derivamos o limite superior em relação a , que é , e multiplicamos pela função integranda avaliada em .

Passo 8

Por fim, a quarta função:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 9

A derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos determinar o domínio de cada função e de suas derivadas.
Para , , e , as integrais estão bem definidas para todos os e reais, já que as funções integrandas são contínuas em todo o domínio real. Assim, o domínio dessas funções é .
As derivadas também estão definidas para todos os e , já que as expressões envolvem funções exponenciais ou trigonométricas que são definidas em todo .
Para , o denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Portanto, o domínio de é:
As derivadas de também exigem que para evitar divisões por zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem e os domínios das funções são:
  1. Para :
    • Derivadas:
    • Domínio:
  2. Para :
    • Derivadas:
    • Domínio:
  3. Para :
    • Derivadas:
    • Domínio:
  4. Para :
    • Derivadas:
    • Domínio:

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