Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
f(x, y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2 d t g(x, y)=integraly^x sin t^2 d t h(x, y)=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t l(r, s)=r sin scos (r^2+s^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de primeira ordem. Temos quatro funções dadas, cada uma definida por uma integral ou uma expressão com funções trigonométricas. O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais em relação às variáveis de cada função e também determinar o domínio de cada uma delas, ou seja, os conjuntos de valores para os quais as funções e suas derivadas estão bem definidas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x, y) = integral0^x^2+y^2 e^-t^2 dt
Para encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = e^-(x^2 + y^2)^2 cdot (2x) em relação a e , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
A derivada parcial de em relação a é:
Explicando: primeiro, derivamos a função interna em relação a , que é , e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em .

Passo 3

Agora, a derivada parcial de partial fpartial y = e^-(x^2 + y^2)^2 cdot (2y) em relação a :
De forma similar, derivamos em relação a , que dá , e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em .

Passo 4

Vamos para a segunda função:
g(x, y) = integraly^x sin(t^2) dt
Para encontrar as derivadas parciais de partial gpartial x = sin(x^2) cdot 1 = sin(x^2) em relação a e , novamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.
A derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos o limite superior em relação a , que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em .

Passo 5

A derivada parcial de partial gpartial y = -sin(y^2) cdot 1 = -sin(y^2) em relação a :
Dessa vez, derivamos o limite inferior em relação a , que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em , com sinal negativo porque está no limite inferior.

Passo 6

Agora, a terceira função:
h(x, y) = integralx^2^y^2 e^-t^2 dt
Vamos calcular as derivadas parciais de partial hpartial x = -e^-(x^2)^2 cdot (2x) = -2x e^-x^4 em relação a e .
A derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos o limite inferior em relação a , que é , e multiplicamos pela função integranda avaliada em , com sinal negativo.

Passo 7

A derivada parcial de partial hpartial y = e^-(y^2)^2 cdot (2y) = 2y e^-y^4 em relação a :
Dessa vez, derivamos o limite superior em relação a , que é , e multiplicamos pela função integranda avaliada em .

Passo 8

Por fim, a quarta função:
l(r, s) = r sin scos(r^2 + s^2)
Vamos calcular as derivadas parciais de partial lpartial r = sin s cdot cos(r^2 + s^2) - r sin s cdot (-sin(r^2 + s^2) cdot 2r)cos^2(r^2 + s^2) em relação a partial lpartial r = sin s cos(r^2 + s^2) + 2r^2 sin s sin(r^2 + s^2)cos^2(r^2 + s^2) e .
A derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 9

A derivada parcial de partial lpartial s = r cos s cos(r^2 + s^2) - r sin s cdot (-sin(r^2 + s^2) cdot 2s)cos^2(r^2 + s^2) em relação a partial lpartial s = r cos s cos(r^2 + s^2) + 2rs sin s sin(r^2 + s^2)cos^2(r^2 + s^2) :
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos determinar o domínio de cada função e de suas derivadas.
Para (r, s) in R^2 mid cos(r^2 + s^2) neq 0 , , e , as integrais estão bem definidas para todos os e reais, já que as funções integrandas são contínuas em todo o domínio real. Assim, o domínio dessas funções é .
As derivadas também estão definidas para todos os e , já que as expressões envolvem funções exponenciais ou trigonométricas que são definidas em todo .
Para , o denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Portanto, o domínio de é:
As derivadas de também exigem que para evitar divisões por zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem e os domínios das funções são:
  1. Para partial fpartial x = 2x e^-(x^2 + y^2)^2 :
    • Derivadas: partial fpartial y = 2y e^-(x^2 + y^2)^2 partial gpartial x = sin(x^2)
    • Domínio: partial gpartial y = -sin(y^2)
  2. Para partial hpartial x = -2x e^-x^4 :
    • Derivadas: partial hpartial y = 2y e^-y^4 partial lpartial r = sin s cos(r^2 + s^2) + 2r^2 sin s sin(r^2 + s^2)cos^2(r^2 + s^2)
    • Domínio: partial lpartial s = r cos s cos(r^2 + s^2) + 2rs sin s sin(r^2 + s^2)cos^2(r^2 + s^2)
  3. Para (r, s) in R^2 mid cos(r^2 + s^2) neq 0 :
    • Derivadas:
    • Domínio:
  4. Para :
    • Derivadas:
    • Domínio:

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