Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de primeira ordem. Temos quatro funções dadas, cada uma definida por uma integral ou uma expressão com funções trigonométricas. O que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais em relação às variáveis de cada função e também determinar o domínio de cada uma delas, ou seja, os conjuntos de valores para os quais as funções e suas derivadas estão bem definidas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Explicando: primeiro, derivamos a função interna
em relação a
, que é
, e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em
.
Passo 3
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
De forma similar, derivamos
em relação a
, que dá
, e multiplicamos pelo valor da função integranda avaliada em
.
Passo 4
Vamos para a segunda função:
Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, novamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.
A derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos o limite superior
em relação a
, que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em
.
Passo 5
A derivada parcial de
em relação a
:
Dessa vez, derivamos o limite inferior
em relação a
, que é 1, e multiplicamos pela função integranda avaliada em
, com sinal negativo porque está no limite inferior.
Passo 6
Agora, a terceira função:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos o limite inferior
em relação a
, que é
, e multiplicamos pela função integranda avaliada em
, com sinal negativo.
Passo 7
A derivada parcial de
em relação a
:
Dessa vez, derivamos o limite superior
em relação a
, que é
, e multiplicamos pela função integranda avaliada em
.
Passo 8
Por fim, a quarta função:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
A derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos determinar o domínio de cada função e de suas derivadas.
Para
,
, e
, as integrais estão bem definidas para todos os
e
reais, já que as funções integrandas são contínuas em todo o domínio real. Assim, o domínio dessas funções é
.
As derivadas também estão definidas para todos os
e
, já que as expressões envolvem funções exponenciais ou trigonométricas que são definidas em todo
.
Para
, o denominador
não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Portanto, o domínio de
é:
As derivadas de
também exigem que
para evitar divisões por zero.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem e os domínios das funções são:
-
Para
: - Derivadas:
- Domínio:
- Derivadas:
-
Para
: - Derivadas:
- Domínio:
- Derivadas:
-
Para
: - Derivadas:
- Domínio:
- Derivadas:
-
Para
: - Derivadas:
- Domínio:
- Derivadas:
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Determine a inclinação da reta tangente em
da curva de interseção da superfície
e o plano
.
Calculai o produto vetorial
entre os vetores
e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) e
.
b)
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
d) e
.
d)
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
c) .
c)