Determine a inclinação da reta tangente em 1,2,7 da curva de interseção da superfície z = 3*x^2 + y^2 e o plano x = 1.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a inclinação da reta tangente na coordenada 1,2,7 da curva formada pela interseção da superfície e do plano x = 1. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a curva de interseção e então derivar para achar a inclinação da tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano x = 1. Como o plano nos dá x = 1, substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida pelas equações x = 1 e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto 1,2,7. Para isso, precisamos considerar y como a variável independente e expressar z em termos de y:
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de z em relação a y neste ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de z em relação a y:
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente para qualquer valor de y na curva.

Passo 5

Agora, substituímos o valor de y no ponto de interesse, que é y = 2:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto 1,2,7 é .

Resposta

A inclinação da reta tangente na coordenada 1,2,7 é igual a .

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