Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e o plano .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a inclinação da reta tangente na coordenada da curva formada pela interseção da superfície e do plano . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a curva de interseção e então derivar para achar a inclinação da tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano . Como o plano nos dá , substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida pelas equações e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto . Para isso, precisamos considerar como a variável independente e expressar em termos de :
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de em relação a neste ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente para qualquer valor de na curva.

Passo 5

Agora, substituímos o valor de no ponto de interesse, que é :
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Resposta

A inclinação da reta tangente na coordenada é igual a .

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Calculai o produto vetorial entre os vetores e vabaixo assim como a área do paralelogramo formado por eles.
b) e .
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores.
d) .
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
d) e .