Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e o plano .
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a inclinação da reta tangente na coordenada da curva formada pela interseção da superfície e do plano . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a curva de interseção e então derivar para achar a inclinação da tangente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano . Como o plano nos dá , substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida pelas equações e .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto . Para isso, precisamos considerar como a variável independente e expressar em termos de :
A inclinação da reta tangente é dada pela derivada de em relação a neste ponto.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente para qualquer valor de na curva.
Passo 5
Agora, substituímos o valor de no ponto de interesse, que é :
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .
Resposta
A inclinação da reta tangente na coordenada é igual a .