Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede pra calcular o rotacional de um campo vetorial e decidir se ele é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial tal que . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de rotacional e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar as componentes de :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, pra saber se o campo é conservativo, a gente verifica se o rotacional é zero. Olhando para , vemos que ele não é igual a zero a menos que e . Como isso nem sempre ocorre, o campo não é conservativo.

Resposta

O rotacional de não é zero, portanto o campo não é conservativo.

Exercícios relacionados

Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.
(a) A série geométrica
( ) diverge
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