Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede pra calcular o rotacional de um campo vetorial e decidir se ele é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de rotacional e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar as componentes de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, pra saber se o campo é conservativo, a gente verifica se o rotacional é zero. Olhando para
, vemos que ele não é igual a zero a menos que
e
. Como isso nem sempre ocorre, o campo
não é conservativo.
Resposta
O rotacional de
não é zero, portanto o campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.
(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) diverge
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