Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
e um campo vetorial
. A expressão que precisamos analisar é
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial: divergente (
), gradiente (
) e rotacional (
). Vamos precisar saber como essas operações funcionam e se elas podem ser combinadas dessa maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada uma dessas operações faz:
- Divergente (
): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em um escalar. Ele mede a taxa de fluxo de saída de um campo vetorial. - Gradiente (
): Aplica-se a uma função escalar e resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior variação da função. - Rotacional (
): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” ao redor de um ponto.
Passo 3
Vamos começar aplicando a operação mais interna da expressão:
. Como
aplicada a
resulta em um escalar, temos que
é uma função escalar.
Passo 4
Em seguida, aplicamos o gradiente a esse resultado:
. O gradiente de um escalar resulta em um campo vetorial. Então,
é um campo vetorial.
Passo 5
Agora, aplicamos o rotacional a esse campo vetorial:
. O rotacional de um campo vetorial também resulta em um campo vetorial. Portanto, a expressão é válida em termos de operações matemáticas.
Passo 6
Porém, existe uma identidade importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor nulo:
onde
é uma função escalar. No nosso caso,
, então:
Resposta
A expressão
tem significado e resulta sempre em um campo vetorial nulo.