Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Rot(Grad(Div(F)))

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial r e um campo vetorial F. A expressão que precisamos analisar é Rot(Grad(Div(F))). Isso envolve conceitos de cálculo vetorial: divergente ( ), gradiente ( ) e rotacional ( ). Vamos precisar saber como essas operações funcionam e se elas podem ser combinadas dessa maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada uma dessas operações faz:
  • Divergente ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em um escalar. Ele mede a taxa de fluxo de saída de um campo vetorial.
  • Gradiente ( ): Aplica-se a uma função escalar e resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior variação da função.
  • Rotacional ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” ao redor de um ponto.

Passo 3

Vamos começar aplicando a operação mais interna da expressão: . Como aplicada a F resulta em um escalar, temos que é uma função escalar.

Passo 4

Em seguida, aplicamos o gradiente a esse resultado: . O gradiente de um escalar resulta em um campo vetorial. Então, é um campo vetorial.

Passo 5

Agora, aplicamos o rotacional a esse campo vetorial: Rot(Grad(Div(F))). O rotacional de um campo vetorial também resulta em um campo vetorial. Portanto, a expressão é válida em termos de operações matemáticas.

Passo 6

Porém, existe uma identidade importante no cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor nulo:
onde phi é uma função escalar. No nosso caso, , então:

Resposta

A expressão Rot(Grad(Div(F))) tem significado e resulta sempre em um campo vetorial nulo.

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