© A série sumk=1^infty (-1)^k 2^k+23^k+2
ll ( & ) diver>= ( & ) conver>= para 19 ( & ) conver>= para -145 ( & ) conver>= para 115 ( & ) conver>= para 745

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita . A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, especificamente séries geométricas e alternadas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de série, simplificar os termos e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise:
(-1)^k 2^k + 23^k+2
Podemos separar essa expressão em duas partes:
(-1)^k 2^k3^k+2 + 23^k+2
Simplificando cada termo:
(-1)^k 2^k3^k cdot 3^2 = (-2)^k3^k cdot 9 = (-2/3)^k9
e
23^k cdot 9 = 29 cdot (13)^k

Passo 3

Agora, temos duas séries separadas:
19 sumk=1^infty (-23)^k e 29 sumk=1^infty (13)^k
Essas são séries geométricas, que têm a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se sumk=1^infty ar^k = ar1 - r e diverge se . Além disso, a soma de uma série geométrica convergente é dada por:

Passo 5

Aplicando isso às nossas séries:
Para a primeira série:
r = -23, e como | -23 | = 23 < 1, a série conver>= é
A soma é:
19 cdot -231 - (-23) = 19 cdot -2353 = 19 cdot (-25) = -245
Para a segunda série:
r = 13, e como | 13 | = 13 < 1, a série também conver>= éé
A soma é:
29 cdot 131 - 13 = 29 cdot 1323 = 29 cdot 12 = 19

Passo 6

Agora, somamos as duas partes para obter a soma total da série original:
-245 + 19 = -245 + 545 = 345 = 115

Resposta

A série converge para .

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