Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita . A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, especificamente séries geométricas e alternadas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de série, simplificar os termos e aplicar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise:
Podemos separar essa expressão em duas partes:
Simplificando cada termo:
e
Passo 3
Agora, temos duas séries separadas:
Essas são séries geométricas, que têm a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 4
Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se e diverge se . Além disso, a soma de uma série geométrica convergente é dada por:
Passo 5
Aplicando isso às nossas séries:
Para a primeira série:
A soma é:
Para a segunda série:
éé
A soma é:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes para obter a soma total da série original: