© A série

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita . A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, especificamente séries geométricas e alternadas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de série, simplificar os termos e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise:
Podemos separar essa expressão em duas partes:
Simplificando cada termo:
e

Passo 3

Agora, temos duas séries separadas:
Essas são séries geométricas, que têm a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se e diverge se . Além disso, a soma de uma série geométrica convergente é dada por:

Passo 5

Aplicando isso às nossas séries:
Para a primeira série:
é
A soma é:
Para a segunda série:
éé
A soma é:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes para obter a soma total da série original:

Resposta

A série converge para .

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(a) A série geométrica
( ) diverge
Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine tal que
Seja
(a) Mostre que é derivável em e calcule .
Seja e considere o campo vetorial .
Determine