Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente das operações de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e aplicar corretamente as derivadas parciais nos componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial. O divergente é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada termo:
  1. (porque não há em )
Somando esses termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Então, o rotacional é:

Resposta

O divergente do campo é e o rotacional é .

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