Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente das operações de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e aplicar corretamente as derivadas parciais nos componentes do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial. O divergente é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. A fórmula para o divergente de
é:
Vamos calcular cada termo:
-
-
-
(porque não há em )
Somando esses termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de
é:
Vamos calcular cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Então, o rotacional é:
Resposta
O divergente do campo
é
e o rotacional é
.