Calculando a soma da série sumn=2^infty ln (1-1n^2).
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para sk.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever a série usando o termo geral que obtivemos no item anterior e encontrar uma expressão para , que é a soma parcial da série até o termo . Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o termo geral que encontramos no item anterior. Suponhamos que tenhamos simplificado ln (1-1n^2) = ln((n-1)(n+1)n^2) usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln((n-1)(n+1)n^2) = ln(n-1) + ln(n+1) - 2ln n . Aplicando o logaritmo, temos:
ln(n-1) + ln(n+1) - 2ln n
Usando a propriedade e , podemos escrever:
Então, o termo geral simplificado é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série usando esse termo geral:
sumn=2^infty [ ln(n-1) + ln(n+1) - 2ln n ]
Podemos separar a série em três somas distintas:
sumn=2^infty ln(n-1) + sumn=2^infty ln(n+1) - 2sumn=2^infty ln n

Passo 4

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Observe que algumas delas são séries telescópicas, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos.
Primeiro, considere ln(1) + ln(2) + ln(3) + ldots + ln(k-1) :
ln(3) + ln(4) + ldots + ln(k+1)
Segundo, 2[ln(2) + ln(3) + ldots + ln(k)] :
E por último, :

Passo 5

Agora, vamos somar tudo e ver quais termos se cancelam:
[ln(1) + ln(2) + ln(3) + ldots + ln(k-1)] + [ln(3) + ln(4) + ldots + ln(k+1)] - 2[ln(2) + ln(3) + ldots + ln(k)]
Observamos que:
  • até aparecem nas duas primeiras somas e são subtraídos duas vezes na terceira soma.
  • é igual a 0, então pode ser ignorado.
  • Ficam nas duas primeiras somas e serão subtraídos duas vezes.
Isso simplifica bastante a expressão.

Passo 6

Após o cancelamento dos termos, a soma parcial ln(k+1) - ln(2) fica:

Passo 7

Portanto, a expressão para a soma parcial sk = ln(k+1) - ln(2) da série é:

Resposta

A soma parcial da série é .

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