Calculando a soma da série
.
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para
.
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever a série
usando o termo geral que obtivemos no item anterior e encontrar uma expressão para
, que é a soma parcial da série até o termo
. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o termo geral que encontramos no item anterior. Suponhamos que tenhamos simplificado
usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
. Aplicando o logaritmo, temos:
Usando a propriedade
e
, podemos escrever:
Então, o termo geral simplificado é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série usando esse termo geral:
Podemos separar a série em três somas distintas:
Passo 4
Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Observe que algumas delas são séries telescópicas, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos.
Primeiro, considere
:
Segundo,
:
E por último,
:
Passo 5
Agora, vamos somar tudo e ver quais termos se cancelam:
Observamos que:
-
até aparecem nas duas primeiras somas e são subtraídos duas vezes na terceira soma. -
é igual a 0, então pode ser ignorado. - Ficam
nas duas primeiras somas e serão subtraídos duas vezes.
Isso simplifica bastante a expressão.
Passo 6
Após o cancelamento dos termos, a soma parcial
fica:
Passo 7
Portanto, a expressão para a soma parcial
da série é:
Resposta
A soma parcial da série é
.
Exercícios relacionados
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
© Use o fato de que cada termo do grupo é menor do que
, exceto para o grupo
, para provar que
.
© Use o fato de que cada termo do grupo
Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
Encontrar o valor aproximado da expressão
.