Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O enunciado pede para integrar essa equação utilizando métodos que envolvem equações homogêneas. Então, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que são homogêneas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos como função de . Nesse caso, vamos verificar se nossa equação atende a esse critério.

Passo 3

Vamos reescrever a equação na forma padrão:
Podemos dividir ambos os lados por para obter:
Isolando :

Passo 4

Para verificar a homogeneidade, substituímos , onde é uma função de . Assim, implica que .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo :

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos para isolar :
Simplificando:

Passo 7

Isolando :
Essa equação ainda não está na forma ideal para resolver, então vamos tentar outro método. Vamos verificar se a equação original é exata.

Passo 8

Uma equação diferencial da forma é exata se:
No nosso caso, e .
Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 9

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Podemos considerar .

Passo 10

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, a equação deve ser exata.

Passo 11

Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , :
Expressando em termos de : :
Simplificando:
Separando os termos:
Integrando:
Substituindo :

Passo 12

Agora, calculamos e igualamos a para encontrar :
Igualando à parte de na equação exata:
Portanto, , o que significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 13

Finalmente, escrevemos a solução geral da equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Calculando a soma da série .
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para .
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Encontrar o valor aproximado da expressão .
Integrar as equações diferenciais exatas.