Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O enunciado pede para integrar essa equação utilizando métodos que envolvem equações homogêneas. Então, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que são homogêneas, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
como função de
. Nesse caso, vamos verificar se nossa equação atende a esse critério.
Passo 3
Vamos reescrever a equação na forma padrão:
Podemos dividir ambos os lados por
para obter:
Isolando
:
Passo 4
Para verificar a homogeneidade, substituímos
, onde
é uma função de
. Assim,
implica que
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo
:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos para isolar
:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Essa equação ainda não está na forma ideal para resolver, então vamos tentar outro método. Vamos verificar se a equação original é exata.
Passo 8
Uma equação diferencial da forma
é exata se:
No nosso caso,
e
.
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 9
Vamos tentar encontrar um fator integrante
que depende apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Podemos considerar
.
Passo 10
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, a equação deve ser exata.
Passo 11
Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Fazendo a substituição
,
,
:
Expressando
em termos de
:
:
Simplificando:
Separando os termos:
Integrando:
Substituindo
:
Passo 12
Agora, calculamos
e igualamos a
para encontrar
:
Igualando à parte de
na equação exata:
Portanto,
, o que significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 13
Finalmente, escrevemos a solução geral da equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calculando a soma da série
.
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para .
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Encontrar o valor aproximado da expressão
.
Integrar as equações diferenciais exatas.