Integrar as equações diferenciais homogêneas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para isolar os termos com . Isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem.
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
Simplificando a fração no lado direito:

Passo 4

Observamos que essa é uma equação diferencial linear na forma:
Aqui, e .
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante ( ) que nos ajudará a integrar ambos os lados da equação.

Passo 5

O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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