Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
© Use o fato de que cada termo do grupo g_n é menor do que 1/10^(n-1), exceto para o grupo g1, para provar que g_n < 9 * (9/10)^(n-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para provar que, para cada grupo da nossa série, a soma dos termos desse grupo é menor que . A matéria aqui envolve séries numéricas e desigualdades. Para resolver isso, vamos usar o fato de que cada termo no grupo é menor que , exceto para o grupo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o grupo . Cada grupo contém os recíprocos dos inteiros positivos com exatamente dígitos e que não têm o dígito 0 na sua representação. Por exemplo, inclui números de 1 a 9, inclui números de 11 a 99 sem zeros, e assim por diante.

Passo 3

Sabemos que, para , cada termo em é menor que . Isso significa que, por exemplo, em , cada termo é menor que , em cada termo é menor que , e assim por diante.

Passo 4

Agora, precisamos contar quantos termos existem em cada grupo . Como cada dígito pode ser de 1 a 9 (já que não pode ser 0), para um número de dígitos, temos combinações possíveis. Portanto, o grupo tem termos.

Passo 5

Como cada termo em é menor que , a soma dos termos de será menor que vezes . Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que para cada grupo .

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