Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
© Use o fato de que cada termo do grupo
é menor do que
, exceto para o grupo
, para provar que
.
© Use o fato de que cada termo do grupo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para provar que, para cada grupo
da nossa série, a soma dos termos desse grupo é menor que
. A matéria aqui envolve séries numéricas e desigualdades. Para resolver isso, vamos usar o fato de que cada termo no grupo
é menor que
, exceto para o grupo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o grupo
. Cada grupo
contém os recíprocos dos inteiros positivos com exatamente
dígitos e que não têm o dígito 0 na sua representação. Por exemplo,
inclui números de 1 a 9,
inclui números de 11 a 99 sem zeros, e assim por diante.
Passo 3
Sabemos que, para
, cada termo em
é menor que
. Isso significa que, por exemplo, em
, cada termo é menor que
, em
cada termo é menor que
, e assim por diante.
Passo 4
Agora, precisamos contar quantos termos existem em cada grupo
. Como cada dígito pode ser de 1 a 9 (já que não pode ser 0), para um número de
dígitos, temos
combinações possíveis. Portanto, o grupo
tem
termos.
Passo 5
Como cada termo em
é menor que
, a soma dos termos de
será menor que
vezes
. Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que
para cada grupo
.
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Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
(b) Obtenha o número de termos (parcelas) contidos no grupo .
(b) Obtenha o número de termos (parcelas) contidos no grupo
Integrar as equações diferenciais homogêneas.
Calculando a soma da série
.
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para .
(b) Reescreva a série com o termo geral obtido no item anterior e obtenha uma expressão para