Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de funções: , e , e queremos mostrar que elas são linearmente independentes no conjunto usando o Wronskiano. Para isso, vamos calcular o Wronskiano dessas funções e verificar se ele é diferente de zero em qualquer intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de três funções , e é definido como o determinante de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas até a segunda ordem:

Passo 3

Vamos identificar cada função e calcular suas derivadas:
    • (a derivada de uma constante é zero)

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Para calcular o determinante dessa matriz, podemos expandir pela primeira linha:

Passo 6

Calculando cada um dos menores:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do Wronskiano:

Passo 8

Observamos que . Como nunca é zero para nenhum valor de , o Wronskiano também nunca é zero em qualquer intervalo .

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em qualquer intervalo , as funções , e são linearmente independentes em .

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