Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de funções: , e , e queremos mostrar que elas são linearmente independentes no conjunto usando o Wronskiano. Para isso, vamos calcular o Wronskiano dessas funções e verificar se ele é diferente de zero em qualquer intervalo .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de três funções , e é definido como o determinante de uma matriz formada pelas funções e suas derivadas até a segunda ordem:
Passo 3
Vamos identificar cada função e calcular suas derivadas:
(a derivada de uma constante é zero)
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Passo 5
Para calcular o determinante dessa matriz, podemos expandir pela primeira linha:
Passo 6
Calculando cada um dos menores:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do Wronskiano:
Passo 8
Observamos que . Como nunca é zero para nenhum valor de , o Wronskiano também nunca é zero em qualquer intervalo .
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero em qualquer intervalo , as funções , e são linearmente independentes em .