Prove que as funções
são linearmente independentes em
para qualquer intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que as funções
são linearmente independentes no espaço das funções contínuas
para qualquer intervalo
. Basicamente, isso significa que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como aplicá-la a funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que linearmente independente significa. Em termos simples, um conjunto de funções é linearmente independente se a única maneira de ter uma combinação linear delas igual a zero (a função zero) é se todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Matematicamente, se tivermos:
Então, para as funções serem linearmente independentes, devemos mostrar que
.
Passo 3
Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Isso significa que, para cada valor de
no intervalo
, a expressão acima é igual a zero.
Passo 4
Agora, temos que provar que todos os coeficientes
devem ser zero. Vamos considerar isso como um polinômio:
Se
para todo
em
, então
é o polinômio zero.
Passo 5
De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau
tem no máximo
raízes, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Mas aqui,
para todos os
em
, um intervalo que contém infinitos pontos. Isso só é possível se todos os coeficientes
forem zero.
Resposta
Portanto, as funções
são linearmente independentes em
para qualquer intervalo
.
Exercícios relacionados
Verifique que
e
sen
são soluções linearmente independentes da equação
quando
e
.
Verifique que
é uma solução da equação de
ordem
, e prove que essa função e
são linearmente independente em
.
Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em
em qualquer intervalo
Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em
em qualquer intervalo