Prove que as funções são linearmente independentes em para qualquer intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que as funções são linearmente independentes no espaço das funções contínuas para qualquer intervalo . Basicamente, isso significa que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como aplicá-la a funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que linearmente independente significa. Em termos simples, um conjunto de funções é linearmente independente se a única maneira de ter uma combinação linear delas igual a zero (a função zero) é se todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Matematicamente, se tivermos:
Então, para as funções serem linearmente independentes, devemos mostrar que .

Passo 3

Vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Isso significa que, para cada valor de no intervalo , a expressão acima é igual a zero.

Passo 4

Agora, temos que provar que todos os coeficientes devem ser zero. Vamos considerar isso como um polinômio:
Se para todo em , então é o polinômio zero.

Passo 5

De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau tem no máximo raízes, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Mas aqui, para todos os em , um intervalo que contém infinitos pontos. Isso só é possível se todos os coeficientes forem zero.

Resposta

Portanto, as funções são linearmente independentes em para qualquer intervalo .

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