Verifique que e sen são soluções linearmente independentes da equação quando e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções, e , e queremos verificar se elas são soluções linearmente independentes da equação diferencial . Aqui, representa o operador derivada, e os valores de e são e respectivamente, onde . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares, soluções de equações com coeficientes constantes e independência linear de funções.

Passo 2

Vamos começar expandindo a equação diferencial dada:
Primeiro, aplicamos a primeira derivada à função , e depois aplicamos ao resultado. Isso gera uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é dada por:
Substituindo os valores de e :
Explicando, as raízes dessa equação são e , que são complexas conjugadas.

Passo 4

Quando temos raízes complexas conjugadas da forma , as soluções gerais da equação diferencial são:
Essas são exatamente as funções que o problema nos deu. Isso já nos indica que ambas são soluções da equação diferencial.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essas duas soluções são linearmente independentes. Duas funções são linearmente independentes se e somente se o seu Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo considerado.

Passo 6

Calculando o Wronskiano :
Calculando as derivadas:
Substituindo no Wronskiano:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:
Como e nunca é zero, para todo .

Resposta

Portanto, as funções e são soluções linearmente independentes da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Verifique que é uma solução da equação de ordem , e prove que essa função e são linearmente independente em .
Determine uma função tal que
Prove que as funções são linearmente independentes em para qualquer intervalo .
Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo