Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir se as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo usando o Wronskiano. Basicamente, a gente precisa calcular o Wronskiano dessas funções e ver se ele é diferente de zero no intervalo considerado. Se for, elas são independentes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Duas funções são linearmente independentes num intervalo se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra nesse intervalo. Para verificar isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar essa independência.
Passo 3
O Wronskiano de duas funções e é calculado da seguinte forma:
Ou seja, é o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.
Passo 4
Vamos aplicar isso nas nossas funções e .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 5
Agora, montamos a matriz e calculamos o determinante:
Passo 6
Agora, observamos o valor do Wronskiano. A função exponencial nunca é zero para nenhum valor de . Além disso, também não anula o Wronskiano em todo o intervalo , a menos que haja uma coincidência específica, o que não acontece geralmente.
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero em qualquer intervalo , podemos concluir que as funções e são linearmente independentes em .