Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir se as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo usando o Wronskiano. Basicamente, a gente precisa calcular o Wronskiano dessas funções e ver se ele é diferente de zero no intervalo considerado. Se for, elas são independentes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Duas funções são linearmente independentes num intervalo se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra nesse intervalo. Para verificar isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar essa independência.

Passo 3

O Wronskiano de duas funções e é calculado da seguinte forma:
Ou seja, é o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.

Passo 4

Vamos aplicar isso nas nossas funções e .
Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 5

Agora, montamos a matriz e calculamos o determinante:

Passo 6

Agora, observamos o valor do Wronskiano. A função exponencial nunca é zero para nenhum valor de . Além disso, também não anula o Wronskiano em todo o intervalo , a menos que haja uma coincidência específica, o que não acontece geralmente.

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em qualquer intervalo , podemos concluir que as funções e são linearmente independentes em .

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Prove que as funções são linearmente independentes em para qualquer intervalo .
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Suponha que pertença a e não é a função zero. Calculando o Wroskiano mostre que e são linearmente independente em