Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para a gente calcular o Wronskiano e mostrar que o conjunto de funções é linearmente independente no espaço , que é o conjunto de funções contínuas em qualquer intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Para verificar isso, usamos o Wronskiano, que é uma matriz determinante construída a partir das funções e suas derivadas.
Passo 3
O Wronskiano de funções é definido como o determinante da matriz cuja primeira linha é formada pelas funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas, a terceira pelas segundas derivadas, e assim por diante, até a -ésima derivada. Matematicamente, fica assim:
Passo 4
No nosso caso, as funções são . Vamos construir a matriz do Wronskiano para essas funções:
Passo 5
Observando a matriz, vemos que ela é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, o Wronskiano se simplifica para:
Passo 6
Como é diferente de zero para todo inteiro , o Wronskiano não se anula em nenhum ponto do intervalo . Isso significa que as funções são linearmente independentes em .
Resposta
As funções são linearmente independentes em qualquer intervalo porque o Wronskiano calculado é , que é diferente de zero.