Calcular o ângulo entre t-1 e 3 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o ângulo entre as duas expressões e . Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente como encontrar o ângulo entre dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o produto escalar e como ele se relaciona com os ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. Aqui, temos dois vetores:
Mas para calcular o ângulo entre eles, precisamos representar esses vetores em componentes. Supondo que seja uma variável escalar, podemos considerar e como vetores unidimensionais. No entanto, isso não faz muito sentido para calcular um ângulo. Então, vamos supor que seja um vetor. Vamos considerar como um vetor no plano.

Passo 3

Vamos considerar como um vetor bidimensional, por exemplo, . Assim, podemos reescrever os vetores:
Agora, com os vetores definidos, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 4

A fórmula do produto escalar entre dois vetores u cdot v = |u| , |v| cos(theta) e cos(theta) = u cdot v|u| , |v| é:
Onde:
  • é o produto escalar
  • e são as magnitudes dos vetores
  • é o ângulo entre eles
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 5

Vamos calcular cada parte dessa fórmula. Primeiro, o produto escalar u cdot v = (x - 1)(3x) + (y)(3y) = 3x(x - 1) + 3y^2 = 3x^2 - 3x + 3y^2 :

Passo 6

Agora, as magnitudes dos vetores |u| = raiz(x - 1)^2 + y^2 |v| = raiz(3x)^2 + (3y)^2 = raiz9x^2 + 9y^2 = 3raizx^2 + y^2 e :

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 3x^2 - 3x + 3y^2raiz(x - 1)^2 + y^2 cdot 3raizx^2 + y^2 = 3(x^2 - x + y^2)3raiz(x - 1)^2 + y^2 cdot raizx^2 + y^2 = x^2 - x + y^2raiz(x - 1)^2 + y^2 cdot raizx^2 + y^2

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta = arccos( x^2 - x + y^2raiz(x - 1)^2 + y^2 cdot raizx^2 + y^2 ) , usamos a função arco-cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores theta = arccos( x^2 - x + y^2raiz(x - 1)^2 + y^2 cdot raizx^2 + y^2 ) e é dado por:

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