Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
[T]alpha^alpha=[ccc 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 ]
onde alpha é a base canônica de R^3.
(a) T é um isomorfismo? Justifique.
(b) Determine dim(Im(T)) e dim(Ker(T)).
© Seja beta=(1,1,1),(1,2,0),(0,-2,1) uma base ordenada de R^3. Calcule [T]beta^beta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. Precisamos verificar se é um isomorfismo, encontrar as dimensões da imagem e do núcleo de , e calcular a matriz de em outra base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinação de isomorfismo, cálculo de dimensões de imagem e núcleo, e mudança de base.

Passo 2

Parte (a): Verificar se det(A) = 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 é um isomorfismo.
Primeiro, vamos entender o que é um isomorfismo. Uma transformação linear det(A) = 3 cdot (0 cdot (-1) - (-2) cdot (-1)) - (-1) cdot (2 cdot (-1) - (-2) cdot 2) + (-2) cdot (2 cdot (-1) - 0 cdot 2) é um isomorfismo se ela for tanto injetora (sem kernel) quanto sobrejetora (imagem igual ao espaço alvo). Na prática, para matrizes quadradas, isso acontece se e somente se a matriz for invertível, ou seja, se o determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante da matriz de = 3 cdot (0 - 2) - (-1) cdot (-2 - (-4)) + (-2) cdot (-2 - 0) :
= 3 cdot (-2) - (-1) cdot 2 + (-2) cdot (-2)
Usando a regra de Sarrus ou cofactores, calculamos:
= -6 + 2 + 4 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível.

Passo 3

Parte (a) Continuação: Conclusão sobre o Isomorfismo
Já que o determinante da matriz de é zero, isso significa que não é invertível. Portanto, não é um isomorfismo.

Passo 4

Parte (b): Determinar dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = n e .
Para encontrar a dimensão da imagem de , que é o posto da matriz , e a dimensão do núcleo de , que é o número de soluções do sistema homogêneo , usamos o Teorema da Dimensão:
onde é a dimensão do espaço de partida, que aqui é 3.
Primeiro, vamos determinar o posto da matriz .

Passo 5

Parte (b) Continuação: Cálculo do Posto da Matriz
Vamos reduzir a matriz A = 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 para a forma escalonada para encontrar o posto.
L2 = L2 - 23L1 L3 = L3 - 23L1
Subtraia 3 & -1 & -2 0 & 23 & -23 0 & -13 & 13 da primeira linha da segunda e terceira linhas:
L3 = L3 + 12L2
Isso resulta em:
3 & -1 & -2 0 & 23 & -23 0 & 0 & 0
Agora, para zerar o elemento abaixo da segunda posição, multiplique a segunda linha por 1 e a terceira linha por 2 e some à segunda linha:
Isso resulta em:
Agora, a matriz está em forma escalonada, e o número de linhas não nulas é 2. Portanto, o posto de é 2.

Passo 6

Parte (b) Continuação: Determinando dim(Im(T)) = posto(A) = 2 e dim(Ker(T)) = 3 - dim(Im(T)) = 3 - 2 = 1
Sabemos que:
Usando o Teorema da Dimensão:

Passo 7

Parte ©: Calcular [T]beta^beta = P^-1 A P
Queremos encontrar a matriz de na base . Para isso, usamos a fórmula de mudança de base:
onde é a matriz cujas colunas são os vetores da base , e é a matriz de na base canônica.

Passo 8

Parte © Continuação: Construindo a Matriz P = 1 & 1 & 0 1 & 2 & -2 1 & 0 & 1 e Calculando P^-1 = 2 & -1 & -2 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 1
Primeiro, construímos :
Agora, vamos calcular . Para simplificar, usaremos métodos de cálculo de inversa, como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss-Jordan.
Após calcular, encontramos:

Passo 9

Parte © Continuação: Calculando [T]beta^beta = P^-1 A P = 2 & -1 & -2 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 cdot 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 cdot 1 & 1 & 0 1 & 2 & -2 0 & -2 & 1
Agora, multiplicamos as matrizes:
[T]beta^beta = -1 & 2 & 1 1 & -1 & 0 2 & -4 & -1
Após realizar as multiplicações, obtemos:

Resposta

(a) [T]beta^beta = -1 & 2 & 1 1 & -1 & 0 2 & -4 & -1 não é um isomorfismo, já que a sua matriz tem determinante zero.
(b) e .
© A matriz de na base é:

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