Seja a transformação linear tal que
onde é a base canônica de .
(a) é um isomorfismo? Justifique.
(b) Determine e .
© Seja uma base ordenada de . Calcule .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. Precisamos verificar se é um isomorfismo, encontrar as dimensões da imagem e do núcleo de , e calcular a matriz de em outra base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinação de isomorfismo, cálculo de dimensões de imagem e núcleo, e mudança de base.

Passo 2

Parte (a): Verificar se é um isomorfismo.
Primeiro, vamos entender o que é um isomorfismo. Uma transformação linear é um isomorfismo se ela for tanto injetora (sem kernel) quanto sobrejetora (imagem igual ao espaço alvo). Na prática, para matrizes quadradas, isso acontece se e somente se a matriz for invertível, ou seja, se o determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante da matriz de :
Usando a regra de Sarrus ou cofactores, calculamos:
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível.

Passo 3

Parte (a) Continuação: Conclusão sobre o Isomorfismo
Já que o determinante da matriz de é zero, isso significa que não é invertível. Portanto, não é um isomorfismo.

Passo 4

Parte (b): Determinar e .
Para encontrar a dimensão da imagem de , que é o posto da matriz , e a dimensão do núcleo de , que é o número de soluções do sistema homogêneo , usamos o Teorema da Dimensão:
onde é a dimensão do espaço de partida, que aqui é 3.
Primeiro, vamos determinar o posto da matriz .

Passo 5

Parte (b) Continuação: Cálculo do Posto da Matriz
Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada para encontrar o posto.
Subtraia da primeira linha da segunda e terceira linhas:
Isso resulta em:
Agora, para zerar o elemento abaixo da segunda posição, multiplique a segunda linha por 1 e a terceira linha por 2 e some à segunda linha:
Isso resulta em:
Agora, a matriz está em forma escalonada, e o número de linhas não nulas é 2. Portanto, o posto de é 2.

Passo 6

Parte (b) Continuação: Determinando e
Sabemos que:
Usando o Teorema da Dimensão:

Passo 7

Parte ©: Calcular
Queremos encontrar a matriz de na base . Para isso, usamos a fórmula de mudança de base:
onde é a matriz cujas colunas são os vetores da base , e é a matriz de na base canônica.

Passo 8

Parte © Continuação: Construindo a Matriz e Calculando
Primeiro, construímos :
Agora, vamos calcular . Para simplificar, usaremos métodos de cálculo de inversa, como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss-Jordan.
Após calcular, encontramos:

Passo 9

Parte © Continuação: Calculando
Agora, multiplicamos as matrizes:
Após realizar as multiplicações, obtemos:

Resposta

(a) não é um isomorfismo, já que a sua matriz tem determinante zero.
(b) e .
© A matriz de na base é:

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Seja a transformação linear definida por
Sejam e bases ordenadas de .
(a) Determine .
(b) é um isomorfismo? Justifique.
© Calcule e .
Seja a transformação linear definida por
Sejam a base canônica de e uma base ordenada de . Determine:
(a) .
(b) .
© Uma matriz tal que .
e determinar:
a)
Calcular o ângulo entre e .