Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. Precisamos verificar se é um isomorfismo, encontrar as dimensões da imagem e do núcleo de , e calcular a matriz de em outra base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinação de isomorfismo, cálculo de dimensões de imagem e núcleo, e mudança de base.
Passo 2
Parte (a): Verificar se det(A) = 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 é um isomorfismo.
Primeiro, vamos entender o que é um isomorfismo. Uma transformação linear det(A) = 3 cdot (0 cdot (-1) - (-2) cdot (-1)) - (-1) cdot (2 cdot (-1) - (-2) cdot 2) + (-2) cdot (2 cdot (-1) - 0 cdot 2) é um isomorfismo se ela for tanto injetora (sem kernel) quanto sobrejetora (imagem igual ao espaço alvo). Na prática, para matrizes quadradas, isso acontece se e somente se a matriz for invertível, ou seja, se o determinante for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante da matriz de = 3 cdot (0 - 2) - (-1) cdot (-2 - (-4)) + (-2) cdot (-2 - 0) :
= 3 cdot (-2) - (-1) cdot 2 + (-2) cdot (-2)
Usando a regra de Sarrus ou cofactores, calculamos:
= -6 + 2 + 4 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível.
Passo 3
Parte (a) Continuação: Conclusão sobre o Isomorfismo
Já que o determinante da matriz de é zero, isso significa que não é invertível. Portanto, não é um isomorfismo.
Passo 4
Parte (b): Determinar dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = n e .
Para encontrar a dimensão da imagem de , que é o posto da matriz , e a dimensão do núcleo de , que é o número de soluções do sistema homogêneo , usamos o Teorema da Dimensão:
onde é a dimensão do espaço de partida, que aqui é 3.
Primeiro, vamos determinar o posto da matriz .
Passo 5
Parte (b) Continuação: Cálculo do Posto da Matriz
Vamos reduzir a matriz A = 3 & -1 & -2 2 & 0 & -2 2 & -1 & -1 para a forma escalonada para encontrar o posto.
L2 = L2 - 23L1 L3 = L3 - 23L1
Subtraia 3 & -1 & -2 0 & 23 & -23 0 & -13 & 13 da primeira linha da segunda e terceira linhas:
L3 = L3 + 12L2
Isso resulta em:
3 & -1 & -2 0 & 23 & -23 0 & 0 & 0
Agora, para zerar o elemento abaixo da segunda posição, multiplique a segunda linha por 1 e a terceira linha por 2 e some à segunda linha:
Isso resulta em:
Agora, a matriz está em forma escalonada, e o número de linhas não nulas é 2. Portanto, o posto de é 2.