Expresse os seguintes polinômios

como combinação linear de

Passo 1

Beleza, temos o polinômio que queremos escrever como uma combinação linear dos polinômios , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinações lineares de polinômios.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear com coeficientes , e tal que:

Passo 3

Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:

Passo 4

Agora, somamos todas as partes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para :

Passo 8

Substituímos a expressão de na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
çã
Terceira equação:
çã

Passo 9

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 10

Usando o método da substituição, da Equação 4, isolamos :
Substituímos esse valor na Equação 5:

Passo 11

Com , encontramos usando a expressão :

Passo 12

Agora, com e , encontramos usando a expressão obtida no Passo 7:

Resposta

Portanto, os coeficientes são:
Assim, o polinômio pode ser expresso como:

Exercícios relacionados

e determinar:
b) o ângulo entre e .
Calcular o ângulo entre e .
  • Determine uma condição que e devem satisfazer de modo que seja uma combinação linear de e .
Determine a área do paralelogramo formados pelos vetores e tais que:
c) e .