Expresse os seguintes polinômios
como combinação linear de
Passo 1
Beleza, temos o polinômio que queremos escrever como uma combinação linear dos polinômios , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinações lineares de polinômios.
Passo 2
Vamos supor que existe uma combinação linear com coeficientes , e tal que:
Passo 3
Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Passo 4
Agora, somamos todas as partes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
2a + b + 3c = 0 a - b + 2c = -1 4a + 3b + 5c = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para a - b + 2c = -1 Rightarrow a = b - 2c - 1 :
Passo 8
Substituímos a expressão de 2(b - 2c - 1) + b + 3c = 0 na primeira e terceira equações: