Expresse os seguintes polinômios
como combinação linear de
Passo 1
Beleza, temos o polinômio que queremos escrever como uma combinação linear dos polinômios , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinações lineares de polinômios.
Passo 2
Vamos supor que existe uma combinação linear com coeficientes , e tal que:
Passo 3
Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Passo 4
Agora, somamos todas as partes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para :
Passo 8
Substituímos a expressão de na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
çã
Terceira equação:
çã
Passo 9
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 10
Usando o método da substituição, da Equação 4, isolamos :
Substituímos esse valor na Equação 5:
Passo 11
Com , encontramos usando a expressão :
Passo 12
Agora, com e , encontramos usando a expressão obtida no Passo 7: