Expresse os seguintes polinômios
-x+2 x^2
como combinação linear de
p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2, p3(x)=3+2 x+5 x^2

Passo 1

Beleza, temos o polinômio que queremos escrever como uma combinação linear dos polinômios , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinações lineares de polinômios.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear com coeficientes -x + 2x^2 = a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2) , e tal que:

Passo 3

Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
a(2 + x + 4x^2) = 2a + a x + 4a x^2
b(1 - x + 3x^2) = b - b x + 3b x^2
c(3 + 2x + 5x^2) = 3c + 2c x + 5c x^2

Passo 4

Agora, somamos todas as partes:
2a + b + 3c + (a - b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x^2 = -x + 2x^2

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de 2a + b + 3c = 0 & (termo constante) a - b + 2c = -1 & (coeficiente de x) 4a + 3b + 5c = 2 & (coeficiente de x^2) , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
2a + b + 3c = 0 a - b + 2c = -1 4a + 3b + 5c = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para a - b + 2c = -1 Rightarrow a = b - 2c - 1 :

Passo 8

Substituímos a expressão de 2(b - 2c - 1) + b + 3c = 0 na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
2b - 4c - 2 + b + 3c = 0
3b - c - 2 = 0 Rightarrow 3b - c = 2 (Equação 4)
4(b - 2c - 1) + 3b + 5c = 2 çã
Terceira equação:
4b - 8c - 4 + 3b + 5c = 2
7b - 3c - 4 = 2 Rightarrow 7b - 3c = 6 (Equação 5)
çã

Passo 9

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
3b - c = 2 (Equação 4) 7b - 3c = 6 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 10

Usando o método da substituição, da Equação 4, isolamos c = 3b - 2 :
7b - 3(3b - 2) = 6
Substituímos esse valor na Equação 5:
7b - 9b + 6 = 6
-2b + 6 = 6
-2b = 0 Rightarrow b = 0

Passo 11

Com c = 3(0) - 2 = -2 , encontramos usando a expressão :

Passo 12

Agora, com a = b - 2c - 1 = 0 - 2(-2) - 1 = 0 + 4 - 1 = 3 e , encontramos usando a expressão obtida no Passo 7:

Resposta

Portanto, os coeficientes são:
a = 3, b = 0, c = -2
Assim, o polinômio -x + 2x^2 = 3p1(x) + 0p2(x) - 2p3(x) pode ser expresso como:

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