(Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear lx+y+z=1 3 x-y+2 z=3 é compatível e determinado? y+k z=-2éí

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O que a questão quer é descobrir para quais valores de esse sistema tem exatamente uma solução única, ou seja, é compatível e determinado. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Ela é formada pelos números que estão na frente de 1 & 1 & 1 3 & -1 & 2 0 & 1 & k , e em cada equação. No nosso caso, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, para saber quando o sistema tem uma solução única, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que a matriz é inversível e, portanto, o sistema tem uma única solução. Vamos calcular o determinante:
det = 1 cdot -1 & 2 1 & k - 1 cdot 3 & 2 0 & k + 1 cdot 3 & -1 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular cada menor:
  1. -1 & 2 1 & k
  2. 3 & 2 0 & k
  3. 3 & -1 0 & 1

Passo 5

Substituindo esses valores no determinante:
det = 1 cdot (-k - 2) - 1 cdot (3k) + 1 cdot 3 = -k - 2 - 3k + 3 = -4k + 1

Passo 6

Para que o sistema seja compatível e determinado, o determinante precisa ser diferente de zero:
-4k + 1 neq 0 implies -4k neq -1 implies k neq 14

Resposta

O sistema é compatível e determinado para todos os valores de diferentes de .

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