Calcular aproximadamente
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que pede para calcular aproximadamente o valor de
. Vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente séries de Taylor, para resolver isso. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão em série da função logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, pode ser expandido em uma série de Taylor em torno de
. A fórmula dessa série é:
Essa série é útil para valores de
próximos de zero, o que é o nosso caso aqui, já que queremos calcular
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na série:
Como
é bem pequeno, podemos aproximar a série usando apenas os primeiros termos, ignorando os de ordem superior para simplificar nossos cálculos sem perder muita precisão.
Passo 4
Calculando os primeiros dois termos da série:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Portanto, a aproximação fica:
Passo 5
Para verificar a precisão, podemos calcular mais um termo da série:
- Terceiro termo:
Adicionando esse termo:
Como o terceiro termo é muito pequeno, nossa aproximação de
já está bem próxima do valor real.
Resposta
Aproximadamente,
.