Calcular aproximadamente ln(1,01)

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para calcular aproximadamente o valor de ln(1,01). Vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente séries de Taylor, para resolver isso. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a expansão em série da função logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , pode ser expandido em uma série de Taylor em torno de x = 0. A fórmula dessa série é:
Essa série é útil para valores de x próximos de zero, o que é o nosso caso aqui, já que queremos calcular ln(1,01) e .

Passo 3

Agora, vamos substituir x por na série:
Como x é bem pequeno, podemos aproximar a série usando apenas os primeiros termos, ignorando os de ordem superior para simplificar nossos cálculos sem perder muita precisão.

Passo 4

Calculando os primeiros dois termos da série:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
Portanto, a aproximação fica:

Passo 5

Para verificar a precisão, podemos calcular mais um termo da série:
  1. Terceiro termo:
Adicionando esse termo:
Como o terceiro termo é muito pequeno, nossa aproximação de já está bem próxima do valor real.

Resposta

Aproximadamente, .

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