Calcule os seguintes limites abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Estamos trabalhando com Limites em Cálculo, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e aproximações de funções próximo a um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser aproximado por uma expressão mais simples quando está bem perto de 0. A aproximação de Taylor para ao redor de 0 é:
Isso significa que, para valores pequenos de , é quase igual a , menos um termo cúbico.

Passo 3

Agora, vamos inverter essa aproximação para encontrar :
Aqui, usamos a propriedade de fatorar do denominador.

Passo 4

Sabemos que para , . Aplicando isso com , temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Ou seja, a diferença entre e é aproximadamente para próximo de 0.

Passo 6

Finalmente, avaliamos o limite dessa aproximação quando tende a 0:
Porque vai para 0 conforme se aproxima de 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo: