Calcule os seguintes limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Estamos trabalhando com Limites em Cálculo, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e aproximações de funções próximo a um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser aproximado por uma expressão mais simples quando
está bem perto de 0. A aproximação de Taylor para
ao redor de 0 é:
Isso significa que, para valores pequenos de
,
é quase igual a
, menos um termo cúbico.
Passo 3
Agora, vamos inverter essa aproximação para encontrar
:
Aqui, usamos a propriedade de fatorar
do denominador.
Passo 4
Sabemos que para
,
. Aplicando isso com
, temos:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Ou seja, a diferença entre
e
é aproximadamente
para
próximo de 0.
Passo 6
Finalmente, avaliamos o limite dessa aproximação quando
tende a 0:
Porque
vai para 0 conforme
se aproxima de 0.
Resposta
O limite
é igual a 0.
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Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo: