Mostre os seguintes itens abaixo (y - x) / y <= ln(y / x) <= (y - x) / x, para todo 0 < x <= y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para todo , a seguinte desigualdade é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais ( ) e desigualdades envolvendo frações. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como o logaritmo se comporta em relação a frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Isso nos ajuda a ver que estamos trabalhando com a diferença dos logaritmos de e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que a função logarítmica é crescente, ou seja, se , então . Além disso, a derivada de é , o que indica como a função cresce.

Passo 4

Vamos considerar a integração da derivada da função logarítmica entre e :
Isso nos mostra que é a área sob a curva entre e .

Passo 5

Para estabelecer as desigualdades, podemos comparar essa integral com retângulos que ficam acima e abaixo da curva . Sabemos que:
Isso porque é o menor valor de no intervalo e é o maior valor.

Passo 6

Substituindo a integral de volta, temos:
Isso confirma a desigualdade que precisávamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , a desigualdade
é válida.

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