Mostre os seguintes itens abaixo
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para todo
, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais (
) e desigualdades envolvendo frações. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como o logaritmo se comporta em relação a frações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que:
Isso nos ajuda a ver que estamos trabalhando com a diferença dos logaritmos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a função logarítmica é crescente, ou seja, se
, então
. Além disso, a derivada de
é
, o que indica como a função cresce.
Passo 4
Vamos considerar a integração da derivada da função logarítmica entre
e
:
Isso nos mostra que
é a área sob a curva
entre
e
.
Passo 5
Para estabelecer as desigualdades, podemos comparar essa integral com retângulos que ficam acima e abaixo da curva
. Sabemos que:
Isso porque
é o menor valor de
no intervalo
e
é o maior valor.
Passo 6
Substituindo a integral de volta, temos:
Isso confirma a desigualdade que precisávamos provar.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
, a desigualdade
é válida.
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, do conjunto de todos os pares
tais que
e
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, do gráfico da função dada.
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