Mostre os seguintes itens abaixo , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para todo , a seguinte desigualdade é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais ( ) e desigualdades envolvendo frações. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como o logaritmo se comporta em relação a frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Isso nos ajuda a ver que estamos trabalhando com a diferença dos logaritmos de e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que a função logarítmica é crescente, ou seja, se , então . Além disso, a derivada de é , o que indica como a função cresce.

Passo 4

Vamos considerar a integração da derivada da função logarítmica entre e :
Isso nos mostra que é a área sob a curva entre e .

Passo 5

Para estabelecer as desigualdades, podemos comparar essa integral com retângulos que ficam acima e abaixo da curva . Sabemos que:
Isso porque é o menor valor de no intervalo e é o maior valor.

Passo 6

Substituindo a integral de volta, temos:
Isso confirma a desigualdade que precisávamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , a desigualdade
é válida.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares tais que e
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico da função dada.
Calcular aproximadamente
Calcular aproximadamente